1. 简介#

粒子群算法是一种解决最优化问题的通用方法，其优点是求解速度快，数值相对稳定，算法简单。粒子群算法分为连续型粒子群算法和离散型粒子群算法，分别用于解决连续型问题和离散型问题。

粒子群优化算法源自对鸟群捕食行为的研究：一群鸟在区域中随机搜索食物，搜索的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。粒子群算法利用这种模型得到启示并应用于解决优化问题：

鸟类的飞行空间： 搜索空间，也可以理解为约束
鸟（粒子）： 可行解
鸟类寻找到的食物源： 最优解

在粒子群算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（在连续性例子群算法中，每一个粒子就代表一个可行解）。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

粒子群算法首先在给定的解空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量数决定了解空间的维数（这里表示每个粒子的维度，后面我们会用D表示维度）。每个粒子有了初始位置与初始速度（x表示当前位置，v表示速度，粒子群算法最重要的是对速度公式的更新，因为速度决定了更新的方向，进而决定解的值），然后通过迭代寻优。在每一次迭代中，每个粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己在解空间中的空间位置与飞行速度：一个极值就是单个粒子本身在迭代过程中找到的最优解粒子，这个粒子叫作个体极值；（这里的意思是，每个粒子具有记忆性，每个粒子子记得两个值，一个是全部的粒子距离目标的最优值，另一个值是这个粒子曾经历史的最优值）另一个极值是种群所有粒子在迭代过程中所找到的最优解粒子，这个粒子是全局极值。

2. 连续型粒子群优化算法#

2.1 基本原理#

假设在一个 $D 维$ 的目标搜索空间中，有 $N$ 个粒子组成一个群落，其中第 $i$ 个粒子表示一个 $D 维$ 的向量：

X_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{i D}), i = 1, 2, \dots, N (1)

第 $i$ 个粒子的“飞行”速度也是一个 $D 维$ 向量：

V_{i} = (v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{i D}), i = 1, 2, \dots, N (2)

第 $i$ 个粒子迄今为止搜到的最优位置称为个体极值（比如： $(p_{11}, p_{12}, \dots, p_{1 D})$ 就是第一个粒子搜索到的最优位置），记为：

p_{b e s t} = (p_{i 1}, p_{i 2}, \dots, p_{i D}), i = 1, 2, \dots, N (3)

整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值（我的理解是 $g_{b e s t}$ 就是本次迭代的局部最优解），记为：

g_{b e s t} = (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{D}) (4)

在找到这两个最优值时，粒子根据如下的式(5)和式(6)分别来更新自己的速度和位置:

v_{i j} (t + 1) = v_{i j} (t) + c_{1} r_{1} [p_{i j} (t) - x_{i j} (t)] + c_{2} r_{2} [p_{g j} (t) - x_{i j} (t)] (5)

x_{i j} (t + 1) = x_{i j} (t) + v_{i j} (t + 1) (6)

式(5)和式(6)是整个粒子群算法最核心的部分，对于式(5)，其中：

$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 为学习因子，也称加速常数；
$r_{1}$ 和 $r_{2}$ 为 $[0 ， 1]$ 范围内的均匀随机数； $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是介于0和1之间的随机数，增加了粒子飞行的随机性。
$j = 1 ， 2 ， \dots ， D$ ；
$v_{i j}$ 是粒子的速度， $v_{i j} \in ［ - v_{m a x} ， v_{m a x} ］$ ， $v_{m a x}$ 是常数，由用户设定来限制粒子的速度。
式（5）右边由三部分组成：
- 第一部分为“惯性”或“动量”部分，反映了粒子的运动“习惯”，代表粒子有维持自己先前速度的趋势（就是原有的速度）；
- 第二部分为“认知”部分，反映了粒子对自身历史经验的记忆或回忆，代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势；
- 第三部分为“社会”部分，反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验，代表粒子有向群体或邻域历史最佳位置逼近的趋势（对于 $p_{g j}$ ，我的理解是把 $p_{b e s t}$ 的最优值中的 $i$ 下标的值记为 $g$ ，或者换句话来说， $p_{g j} (t)$ 就是整个群体的历史最佳位置）。

上面的是基本粒子群算法，下面的标准粒子群算法的更新是这样的，就是在速度 $v_{i j}$ 的前面加一个权重系数 $w$ 。使得权重系数是一个动态调整的。保证在迭代前期保证足够的全局搜索能力，迭代后期能够专注于局部最优解的搜索能力。

v_{i j} (t + 1) = w \cdot v_{i j} (t) + c_{1} r_{1} [p_{i j} (t) - x_{i j} (t)] + c_{2} r_{2} [p_{g j} (t) - x_{i j} (t)] (7)

x_{i j} (t + 1) = x_{i j} (t) + v_{i j} (t + 1) (8)

权重更新公式如下（这是其中一种，还有其他的更新方式）：

w = w_{m a x} - \frac{(w_{m a x} - w_{m i n}) \cdot t}{T_{m a x}} (9)

2.2 算法流程#

（1）初始化粒子群，包括群体规模 $N$ ，每个粒子的位置 $x_{i}$ 和速度 $v_{i}$ 。

（2）计算每个粒子的适应度值 $f i t n e s s_{i}$ 。

（3）对每个粒子，用它的适应度值 $f i t n e s s_{i}$ 和个体极值 $p_{b e s t} (i)$ 比较。如果 $f i t n e s s_{i} ＜ p_{b e s t} (i)$ ，则用 $f i t n e s s_{i}$ 替换掉 $p_{b e s t} (i)$ 。

（4）对每个粒子，用它的适应度值 $f i t n e s s_{i}$ 和全局极值 $g_{b e s t}$ 比较。如果 $f i t n e s s_{i} ＜ g_{b e s t}$ ，则用 $f i t n e s s_{i}$ 替换 $g_{b e s t}$ 。

（5）迭代更新粒子的速度 $v_{i}$ 和位置 $x_{i}$ 。

（6）进行边界条件处理。

（7）判断算法终止条件是否满足：若是，则结束算法并输出优化结果；否则返回步骤（2）。

2.3 算法详解#

求函数 $f （ x ， y ） = 3 c o s （ x y ） + x + y^{2}$ 的最小值，其中 $x$ 的取值范围为 $［ - 4 ， 4 ］$ ，y的取值范围为 $［ - 4 ， 4 ］$ 。为了方便编程，在算法中， $x$ 用 $x [0]$ 表示， $y$ 用 $x [1]$ 来表示。

2.3.1 绘图#

首先我们来看看 $f （ x ， y ） = 3 c o s （ x y ） + x + y^{2}$ 函数长啥样：

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# 求函数f(x,y) = 3*cos(x * y) + x + y**2的最小值，其中-4 <= x <= 4, -4 <= y <= 4

# 首先绘制这个函数的三维图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
Y = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
x, y = np.meshgrid(X ,Y)
Z = 3*np.cos(x * y) + x + y**2

# 作图
fig = plt.figure(figsize=(10,15))
ax3 = plt.axes(projection = "3d")
ax3.plot_surface(x,y,Z ,cmap = "rainbow")
# ax3.contour(x ,y ,Z ,zdim = "z" ,offset=-2 ,cmap = "rainbow")
plt.show()

2.3.2 连续型粒子群算法求解#

Copy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
# 设置字体和设置负号
matplotlib.rc("font", family="KaiTi")
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
# 初始化种群，群体规模，每个粒子的速度和规模
N = 100 # 种群数目
D = 2 # 维度
T = 200 # 最大迭代次数
c1 = c2 = 1.5 # 个体学习因子与群体学习因子
w_max = 0.8 # 权重系数最大值
w_min = 0.4 # 权重系数最小值
x_max = 4 # 每个维度最大取值范围，如果每个维度不一样，那么可以写一个数组，下面代码依次需要改变
x_min = -4 # 同上
v_max = 1 # 每个维度粒子的最大速度
v_min = -1 # 每个维度粒子的最小速度


# 定义适应度函数
def func(x):
    return 3 * np.cos(x[0] * x[1]) + x[0] + x[1] ** 2


# 初始化种群个体
x = np.random.rand(N, D) * (x_max - x_min) + x_min # 初始化每个粒子的位置
v = np.random.rand(N, D) * (v_max - v_min) + v_min # 初始化每个粒子的速度

# 初始化个体最优位置和最优值
p = x # 用来存储每一个粒子的历史最优位置
p_best = np.ones((N, 1))  # 每行存储的是最优值
for i in range(N): # 初始化每个粒子的最优值，此时就是把位置带进去，把适应度值计算出来
    p_best[i] = func(x[i, :])

# 初始化全局最优位置和全局最优值
g_best = 100 #设置真的全局最优值
gb = np.ones(T) # 用于记录每一次迭代的全局最优值
x_best = np.ones(D) # 用于存储最优粒子的取值

# 按照公式依次迭代直到满足精度或者迭代次数
for i in range(T):
    for j in range(N):
        # 个更新个体最优值和全局最优值
        if p_best[j] > func(x[j,:]):
            p_best[j] = func(x[j,:])
            p[j,:] = x[j,:].copy()
        # p_best[j] = func(x[j,:]) if func(x[j,:]) < p_best[j] else p_best[j]
        # 更新全局最优值
        if g_best > p_best[j]:
            g_best = p_best[j]
            x_best = x[j,:].copy()   # 一定要加copy，否则后面x[j,:]更新也会将x_best更新
        # 计算动态惯性权重
        w = w_max - (w_max - w_min) * i / T
        # 更新位置和速度
        v[j, :] = w * v[j, :] + c1 * np.random.rand(1) * (p[j, :] - x[j, :]) + c2 * np.random.rand(1) * (x_best - x[j, :])
        x[j, :] = x[j, :] + v[j, :]
        # 边界条件处理
        for ii in range(D):
            if (v[j, ii] > v_max) or (v[j, ii] < v_min):
                v[j, ii] = v_min + np.random.rand(1) * (v_max - v_min)
            if (x[j, ii] > x_max) or (x[j, ii] < x_min):
                x[j, ii] = x_min + np.random.rand(1) * (x_max - x_min)
    # 记录历代全局最优值
    gb[i] = g_best
print("最优值为", gb[T - 1],"最优位置为",x_best)
plt.plot(range(T),gb)
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("适应度值")
plt.title("适应度进化曲线")
plt.show()