深度学习（十三）——损失函数与反向传播

一、损失函数：Loss Function#

官网文档：torch.nn — PyTorch 2.0 documentation

1. Loss Function的作用#

• 每次训练神经网络的时候都会有一个目标，也会有一个输出。目标和输出之间的误差，就是用$Loss$ $Function$来衡量的。所以，误差$Loss$是越小越好的。

• 此外，我们可以根据误差$Loss$，指导输出$output$接近目标$target$。即我们可以以$Loss$为依据，不断训练神经网络，优化神经网络中各个模块，从而优化$output$。

$Loss$ $Function$的作用：

（1）计算实际输出和目标之间的差距

（2）为我们更新输出提供一定的依据，这个提供依据的过程也叫反向传播。

2. Loss Function中的函数介绍#

（1）nn.L1Loss#

计算$MAE$ (mean absolute error)，即假设输入为$x_i$，目标为$y_i$，特征数量为$n$。在默认情况下，$nn.L1Loss$通过下面公式计算误差：

$$\frac{\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|}{n}$$

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class torch.nn.L1Loss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

参数说明：

• reduction：默认为 ‘mean’ ，可选mean和sum。

  • 当reduction='mean'时，计算误差采用公式：

    $$\frac{\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|}{n}$$

  • 当reduction='sum'时，计算误差采用公式：

    $$\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$$

• 需要注意的是，计算的数据必须为浮点数。

代码栗子：

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import torch
from torch.nn import L1Loss

input=torch.tensor([1,2,3],dtype=torch.float32)
target=torch.tensor([1,2,5],dtype=torch.float32)

input=torch.reshape(input,(1,1,1,3))
target=torch.reshape(target,(1,1,1,3))

loss1=L1Loss()  #reduction='mean'
loss2=L1Loss(reduction='sum')  #reduction='mean'
result1=loss1(input,target)
result2=loss2(input,target)

print(result1,result2)

（2）nn.MSELoss#

计算$MSE$ (mean squared error)，即假设输入为$x_i$，目标为$y_i$，特征数量为$n$。在默认情况下，$nn.MSELoss$通过下面公式计算误差：

$$\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}{n}$$

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class torch.nn.MSELoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

参数说明：

• reduction：默认为 ‘mean’ ，可选mean和sum。

  • 当reduction='mean'时，计算误差采用公式：

    $$\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}{n}$$

  • 当reduction='sum'时，计算误差采用公式：

    $$\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2$$

代码栗子：

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import torch
from torch.nn import L1Loss,MSELoss

input=torch.tensor([1,2,3],dtype=torch.float32)
target=torch.tensor([1,2,5],dtype=torch.float32)

input=torch.reshape(input,(1,1,1,3))
target=torch.reshape(target,(1,1,1,3))

loss_mse1=MSELoss()  #reduction='mean'
loss_mse2=MSELoss(reduction='sum')  #reduction='mean'
result_mse1=loss_mse1(input,target)
result_mse2=loss_mse2(input,target)

print(result_mse1,result_mse2)

（3）nn.CrossEntropyLoss（交叉熵）#

当训练一个分类问题的时候，假设这个分类问题有$C$个类别，那么有：

$$loss(x,class)=-log(\frac{exp(x[class])}{\sum _{j}exp(x[j])})=-x[class]+log(\sum _{j}exp(x[j])$$

*注意：其中的$log$在数学中表示的是$ln$，即以10为底的对数函数

举个栗子：

• 我们对包含了人、狗、猫的图片进行分类，其标签的索引分别为0、1、2。这时候将一张狗的图片输入神经网络，即目标（$target$）为$1$（对应狗的标签索引）。输出结果为$[0.1,0.2,0.3]$，该列表中的数字分别代表分类标签对应的概率。

• 根据上述分类结果，图片为人的概率更大，即$0.3$。对于该分类的$Loss$ $Function$，我们可以通过交叉熵去计算，即：

  $$x=[0.1,0.2,0.3]；x[class]=x[1]=0.2$$
  $$loss(x,class)=-0.2+log[exp(0.1)+exp(0.2)+exp(0.3)]$$

那么如何验证这个公式的合理性呢？根据上面的栗子，分类结果越准确，$Loss$应该越小。这条公式由两个部分组成：

• $log(\sum _{j}exp(x[j])$：主要作用是控制或限制预测结果的概率分布。比如说，预测出来的人、狗、猫的概率均为0.9，每个结果概率都很高，这显然是不合理的。此时$log(\sum _{j}exp(x[j])$的值会变大，误差$loss(x,class)$也会随之变大。同时该指标也可以作为分类器性能评判标准。

• $-x[class]$：在已知图片类别的情况下，预测出来对应该类别的概率$x[class]$越高，其预测结果误差越小。

参数说明：

• Input: $(N,C)$，其中$N$代表batch_size，$C$代表分类的数量(或者叫标签数量)，即数据要分成几类（或有几个标签）。

• Target: $(N)$，对于每个数据：$0\le target[i]\le C-1$

代码栗子：

• 仍然以上面图片分类栗子的结果为例，编写程序

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import torch
from torch.nn import L1Loss,MSELoss,CrossEntropyLoss

x=torch.tensor([0.1,0.2,0.3])
y=torch.tensor([1])

x=torch.reshape(x,(1,3))

loss_cross=CrossEntropyLoss()
result_cross=loss_cross(x,y)
print(result_cross)

• 直接用CIFAR 10数据进行实战分类：

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import torchvision
from torch import nn
from torch.nn import Conv2d, MaxPool2d, Flatten, Linear, Sequential
from torch.utils.data import DataLoader

dataset=torchvision.datasets.CIFAR10("./dataset",train=False,download=True,transform=torchvision.transforms.ToTensor())
dataloder=DataLoader(dataset,batch_size=1)

class Demo(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Demo,self).__init__()

        self.model1=Sequential(
            Conv2d(3,32,5,padding=2),
            MaxPool2d(2),
            Conv2d(32, 32, 5, padding=2),
            MaxPool2d(2),
            Conv2d(32, 64, 5, padding=2),
            MaxPool2d(2),
            Flatten(),
            Linear(1024, 64),
            Linear(64, 10)
        )

    def forward(self,x):
        x=self.model1(x)
        return x

demo=Demo()
loss=nn.CrossEntropyLoss()
for data in dataloder:
    imgs,targets=data
    output=demo(imgs)

    # print(output)
    #[Run] 一共输出10个数据，分别代表该图像为各个标签的概率.具体如下：
    # tensor([[-0.0151, -0.0990, 0.0908, 0.0354, 0.0731, -0.0313, -0.0329, 0.1006,
    #          -0.0953, 0.0449]], grad_fn= < AddmmBackward0 >)

    # print(targets)
    #[Run] 输出该图像真实的标签，具体如下：
    # tensor([7])

    result_loss=loss(output,targets)
    print(result_loss)

二、反向传播#

如何根据$Loss$ $Function$为更新神经网络数据提供依据？

• 对于每个卷积核当中的参数，设置一个$grad$(梯度)。

• 当我们进行反向传播的时候，对每一个节点的参数都会求出一个对应的梯度。之后我们根据梯度对每一个参数进行优化，最终达到降低$Loss$的一个目的。比较典型的一个方法——梯度下降法。

代码举例：

• 在上面的代码for循环的最后，加上：

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result_loss.backward()

• 上面就是反向传播的使用方法，它的主要作用是计算一个$grad$。使用debug功能并删掉上面这行代码，会发现单纯由result_loss=loss(output,targets)计算出来的结果，是没有$grad$这个参数的。