第八周保险利息

一项连续支付的年金，第 1 年连续支付 100 元，第 2 年连续支付120 元，第 3 年连续支付 140 元，以此类推，直到第 15 年连续支付 380 元。假设年实际利率为 5%，请问该年金的现值
\(80 \times \frac{1-\left(\frac{1}{1+0.05}\right)^{15}}{\log (1+0.05)}+20 \times \frac{\frac{1-\frac{1}{(1+0.05)^{15}}}{0.05 \times \frac{1}{1+0.05}}-15\left(\frac{1}{1+0.05}\right)^{15}}{\log (1+0.05)}\)

#wolfram
80*((1-(1/(1+0.05))^15)/ln(1+0.05))+20*(((1-(1/(1+0.05)^15))/(0.05*(1/(1+0.05)))-(15*(1/(1+0.05))^15))/ln(1+0.05)
(1-(1/(1+0.05)^15))/(0.05*(1/(1+0.05)))

一项连续支付年金，第 1 年连续支付 200 元，以后每年比前一年减少 15 元，直到最后支付 50 元。假设年实际利率为 8%，请计算该年金在第 15 年末的终值。
\(\left(11 \times \frac{(1+0.08)^{11}-1}{\log (1+0.08)}+15 \times\right.\left.\frac{11(1+0.08)^{11}-\frac{(1+0.08)^{11}-1}{0.08}}{\log (1+0.08)}\right)(1+0.08)^{4}\)

#wolfram
(11*((1+0.08)^11-1)/ln(1+0.08)+15*(11*(1+0.08)^11-((1+0.08)^11-1)/0.08)/ln(1+0.08))*(1+0.08)^4

一项 10 年期的连续年金在 t 时刻的支付率为\(ρ(t) = 2t + 1\)，假设利息力为 \(δ(t) = 0.3 + 0.2t\)。请计算该年金在 0 时刻的现值
\(\left.\int_{0}^{10}(2 t+1) \exp [- \int_{0}^{t}(0.3+0.2s) d s\right] d t\)

一个现金流从时刻 5 到时刻 10 连续付款，在 t 时刻的付款率为\(ρ(t) = t^2+2t\)从 0 时刻到 8 时刻的利息力为\(δ(t) = 0.002t + 0.01\)，从时刻8 到时刻 10 的利息力为 \(δ(t) = 0.0006t^2+0.001t\) 。请计算该现金流在第 10年末的终值。
\(a(5)=\exp \left(\int_{0}^{5} 0.002 t+0.01 d t\right)\)
\(\int_{5}^{8}\left(t^{2}+2 t\right) \exp \left(0.144-0.001 t^{2}-0.01 t\right) d t=173.387\)

int_5^8 {(t^2+2t)*exp(0.144-0.001*t^2-0.01*t)}dt

\(\int_{8}^{10}\left(t^{2}+2 t\right) \exp \left(0.205-0.0005 t^{2}-0.0002 t^{3}\right)d t=201.349\)

(int_8^10 {(t^2+2t)*exp(0.205-0.0005*t^2-0.0002*t^3)}dt

173.387*201.349*1.07788415=37630.33591591755145

（等差数列年金）设一个 n 期的年金，年实际利率为\(i\)，在时刻 \(k\)支付\(x_k = x_1 + (k-1)∆\)，其中，\(1 ⩽ k ⩽ n\)。
(1) 请给出该年金的现值的表达式。
(2) 根据 (1) 中给出的公式，计算当 \(n = 11, x_1 = 350, ∆ = 50, i = 5\%\)时，年金在时刻 0 的现值和在时刻 12 的终值。
=\(v x_{1}+\left(x_{1}+\Delta\right) v^{2}+\left(x_{1}+2 \Delta\right) v^{3}+\dots .+v^{n}\left(x_{1}+(n-1)\Delta\right)\)
\(=x \cdot \frac{v\left(1-v^{n}\right)}{1-v}+\frac{ \Delta}{1-v}\left(\frac{v\left(1-v^{n}\right)}{1-v}-v-(n-1)v^{n+1}\right)\)

一项 10 年期的金融产品，该产品满足以下条件：
(1) 每年初可获得 1 万元，这些款项按照年实际利率\(5\%\) 计息；
(2) 在每年末所获利息又以 \(4\%\) 的年实际利率计息。
如果该金融产品的年收益率为 \(5\%\)，请计算该产品现在的售价。

((((1-(1/(1+0.04))^10)/(0.04*(1/(1+0.04)))*(1+0.04)^10-10)/0.04*500+10^5))/(1+0.05)^10
#80471.38

(\(\frac{\frac{1-\left(\frac{1}{1+0.04}\right)^{10}}{0.04 \times \frac{1}{1+0.04}}(1+0.04)^{10}-10}{0.04} \times 500+10^{5}\)）/(1+0.05)^10