群的作用

群的作用

G为一个群,\(G \neq \varnothing\)

\(\varphi:G \times S \rightarrow S\)

\((i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s))\)

\((ii):e(s)=s ,\forall s \in S\)

我们引入轨道的概念：\(O_{x}=\{gx|g\in G\}\)

我们来证明：$\forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)

\(O_x \cap O_y \neq \varnothing\)

任取\(z \in O_x \cap O_y\),存在\(g_1,g_2 \in G\),使得\(gx=z=gy\)

\(y=g_2^{-1}g_1x \in O_x\)(这里我们要注意一些概念：\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\))由此得到：\(O_y \subset O_x,同理可证O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y\)

由于\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\)

这里我们注意一个事实，尽管\(\rho\)是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：\(|g(x)|=X\),而不是\(|G|=|X|\)

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义\(\varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G\)

我们有这样的事实：

\((i)e(x)=exe^{-1}\)

\((ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1}\)

我们很容易提出问题：\(|G|?=|O_x|？=|G \times X|\)

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则\(g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s))\)

我们首先要注意事实：\(|G|\)和\(|O_x|\)在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子：\(S_x=\{gx=x\}\)

那么有这样的事实：\(\rho: O_x \rightarrow G \big/S_x\)

\(gx \rightarrow gS_x\)

那么我们\(O_x\)到\(G \big/ S_x\)的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义\(|G|\)与\(|O_x|\)的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

\((i)\rho 为单射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x\)

\(g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x\)

我们得到了很重要的结论：\(|G|=|S_x||O_x|\)

我们来看看一个群作用：

多项式：\(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\)的对称变换的群

\(X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\),G作用在X上，\(\tau=(1,2,3,4)\)

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量\(|X|\)的阶数，

\(|X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]\),其中\(x_i\)取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

\(G \times G \rightarrow G\),我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：\(g_1(g_2) \rightarrow g\),这里我们采用共轭作用，群\(G\)作用在自身

\(x \in G,O_x=\{gxg^{-1}|g \in G\},S_x=\{g \in G|gxg^{-1}=x\}\)

我们通常把\(O_x\)称为x所在的共轭类，\(S_x\)称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

\(|G|=\sum_{x}|G:C(x)|\)，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

\(|G:C(x)|=1\)(x为中心元素的共轭类)

\(G\)为有限群，\(|G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)|\)

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果\(G\)为一个有限群，\(|G|=n\),对于n每一个素因子p，\(G\)都有阶为p的元素