拓扑习题
HW1
1. 设 M 为正多面体，它的每个面有 p 个边，每个顶点是 q 个面的交点. 用Euler 定理\(v − e + f = 2,\)证明：
(a). \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e}\)
(b). 由 (a) 证明正多面体只有 5 种.
2. 计算由立方体按下图中箭头粘合边并且对面两两粘合（即上表面和底面粘合，前表面和后表面粘合，左侧面和右侧面粘合）得到的商空间的Euler示性数
HW3
1. 设 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 上的拓扑，A 是 \(X\) 的一个子集，规定：
\(\mathcal{T}^{\prime}=\{A \cup U \quad | U \in \mathcal{T}\} \cup\{\emptyset\}\)
证明：\(\mathcal{T}^{\prime}\)也是\(X\)上的拓扑
2. 设集合\(X = \{a,b,c\}\), 请给出 \(X\)上的所有可能的拓扑.
HW4
3. 设\(X\)是⼀个拓扑空间，则对于任意 \(A,B\subset X\) 有：
(a). \((A \cap B)^{\circ}=A^{\circ} \cap B^{\circ}\)
(b). \(A^{\circ \circ}=A^{\circ}\)
4. 证明：每⼀个离散拓扑空间都是可度量化的。（ 提示：注意到离散拓扑空间的任意子集都是开集，要证明其可度量化，只需说明存在⼀个度量，使得空间的任意⼀个子集都可以表示成⼀些由该度量定义的开球的并.)
HW5
3. 度量空间的每个子集的导集是闭集.
