群同态 群同态基本定理

群同态与同构

群同态

\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)， f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2})\)
定义名称：
\(f\)为单射 \(\rightarrow\)单同态
\(f\)为满射 \(\rightarrow\)满同态
\(f\)为双射 \(\rightarrow\)同构

性质

单位元具有唯一性且单位元具有对应性:

\(f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)\)

引理

\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)​\)
则\(Kerf =\{e\}\rightarrow f​\)为单同态

\(Imf = \{f(g)|g \in G\}\rightarrow f\)为满同态

群同构基本定理

\(f :G\rightarrow H​\)
\((G,\cdot)\rightarrow (H,\triangle)​\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf​\)
\(\left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\}​\)
首先这个定理很直观，如果商集比较熟悉的话，一眼就可以看出来这个定理其实，对于\(Kerf​\)的话，对应值域的\(e​\),商掉\(Kerf​\)的话，剩下的其实就是\(Imf​\)

证明的话需要证明映射的良序性，单射和满射

证明：

\(\varphi:G \big/Kerf \rightarrow Imf\)

群第一同构定理：\(H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K\)

群同构第二定理

\(G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)\)