机器学习之决策树

1. 相关概念

1） 理解信息熵

可以参考https://www.autonlab.org/tutorials/infogain.html上的解释。从哈夫曼编码引出信息熵的定义。

知乎上也要对信息熵的讨论：各有各的理解，但是都大同小异。可以做参考：https://www.zhihu.com/question/22178202

2） 定义

信息熵用来衡量信息量的大小；若不确定性越大，则信息量越大，熵越大；若不确定性越小，则信息量越小，熵越小

3）条件熵

4） 信息增益

gain = 熵 - 条件熵

信息增益代表了在一个条件下，信息复杂度（不确定性）减少的程度。

6）增益率

分裂信息：

增益率：

7） 基尼系数：

Gini指数即为1与类别ck的概率平方之和的差值，反映了样本集合的不确定性程度。Gini指数越大，样本集合的不确定性程度越高。分类学习过程的本质是样本不确定性程度的减少（即熵减过程），故应选择最小Gini指数的特征分裂。父节点对应的样本集合为D，CART选择特征A分裂为两个子节点，对应集合为DL与DR；分裂后的Gini指数定义如下：

其中，|⋅|表示样本集合的记录数量。如上图中的表格所示，当Annual Income的分裂值取87时，则Gini指数计算如下：

2. 决策树例子

数据：

NO. , Outlook , Temperature , Humidity , Wind , Play 
1 , Sunny , Hot , High , Weak , No 
2 , Sunny , Hot , High , Strong , No 
3 , Overcast , Hot , High , Weak , Yes 
4 , Rain , Mild , High , Weak , Yes 
5 , Rain , Cool , Normal , Weak , Yes 
6 , Rain , Cool , Normal , Strong , No 
7 , Overcast , Cool , Normal , Strong , Yes 
8 , Sunny , Mild , High , Weak , No 
9 , Sunny , Cool , Normal , Weak , Yes 
10 , Rain , Mild , Normal , Weak , Yes 
11 , Sunny , Mild , Normal , Strong , Yes 
12 , Overcast , Mild , High , Strong , Yes 
13 , Overcast , Hot , Normal , Weak , Yes 
14 , Rain , Mild , High , Strong , No

决策树形成过程：

节点属性选择：（选择信息增益大的做节点）

1 计算分类系统熵
类别是 是否出去玩。取值为yes的记录有9个，取值为no的有5个，即说这个样本里有9个正例，5 个负例，记为S(9+,5-)，S是样本的意思(Sample)。那么P(c1) = 9/14, P(c2) = 5/14
这里熵记为Entropy(S),计算公式为：
Entropy(S)= -(9/14)*log2(9/14)-(5/14)*log2(5/14)用Matlab做数学运算
2 分别以Wind、Humidity、Outlook和Temperature作为根节点，计算其信息增益

我们来计算Wind的信息增益
当Wind固定为Weak时：记录有8条，其中正例6个，负例2个；
同样，取值为Strong的记录6个，正例负例个3个。我们可以计算相应的熵为：
Entropy(Weak)=-(6/8)*log(6/8)-(2/8)*log(2/8)=0.811
Entropy(Strong)=-(3/6)*log(3/6)-(3/6)*log(3/6)=1.0

现在就可以计算出相应的信息增益了：
所以，对于一个Wind属性固定的分类系统的信息量为 (8/14)*Entropy(Weak)+(6/14)*Entropy(Strong)
Gain(Wind)=Entropy(S)-(8/14)*Entropy(Weak)-(6/14)*Entropy(Strong)=0.940-(8/14)*0.811-(6/14)*1.0=0.048
这个公式的奥秘在于，8/14是属性Wind取值为Weak的个数占总记录的比例，同样6/14是其取值为Strong的记录个数与总记录数之比。

同理，如果以Humidity作为根节点：
Entropy(High)=0.985 ; Entropy(Normal)=0.592
Gain(Humidity)=0.940-(7/14)*Entropy(High)-(7/14)*Entropy(Normal)=0.151
以Outlook作为根节点：
Entropy(Sunny)=0.971 ; Entropy(Overcast)=0.0 ; Entropy(Rain)=0.971
Gain(Outlook)=0.940-(5/14)*Entropy(Sunny)-(4/14)*Entropy(Overcast)-(5/14)*Entropy(Rain)=0.247
以Temperature作为根节点：
Entropy(Cool)=0.811 ; Entropy(Hot)=1.0 ; Entropy(Mild)=0.918
Gain(Temperature)=0.940-(4/14)*Entropy(Cool)-(4/14)*Entropy(Hot)-(6/14)*Entropy(Mild)=0.029
这样我们就得到了以上四个属性相应的信息增益值：
Gain(Wind)=0.048 ；Gain(Humidity)=0.151 ； Gain(Outlook)=0.247 ；Gain(Temperature)=0.029
最后按照信息增益最大的原则选Outlook为根节点。子节点重复上面的步骤。这颗树可以是这样的，它读起来就跟你认为的那样：

决策树内容：http://www.cnblogs.com/leoo2sk/archive/2010/09/19/decision-tree.html

3. 相关算法

ID3算法和C4.5算法：ID3算法属性选择原则是：信息增益大（期望信息越小，信息增益越大，从而纯度越高）。

ID3算法存在一个问题，就是偏向于多值属性，例如，如果存在唯一标识属性ID，则ID3会选择它作为分裂属性，这样虽然使得划分充分纯净，但这种划分对分类几乎毫无用处。ID3的后继算法C4.5使用增益率（gain ratio）的信息增益扩充，试图克服这个偏倚。

CART算法：既可以用来做分类也可以做回归（机器学习实战中第九章的树回归）

CART树分类时采用的是基尼系数做特征选择指标；具体算法参考：

http://www.cnblogs.com/en-heng/p/5035945.html

4. 决策树剪枝

决策树常用的剪枝常用的简直方法有两种：预剪枝(Pre-Pruning)和后剪枝(Post-Pruning)。预剪枝是根据一些原则及早的停止树增长，如树的深度达到用户所要的深度、节点中样本个数少于用户指定个数、不纯度指标下降的最大幅度小于用户指定的幅度等。预剪枝的核心问题是如何事先指定树的最大深度，如果设置的最大深度不恰当，那么将会导致过于限制树的生长，使决策树的表达式规则趋于一般，不能更好地对新数据集进行分类和预测。除了事先限定决策树的最大深度之外，还有另外一个方法来实现预剪枝操作，那就是采用检验技术对当前结点对应的样本集合进行检验，如果该样本集合的样本数量已小于事先指定的最小允许值，那么停止该结点的继续生长，并将该结点变为叶子结点，否则可以继续扩展该结点。

后剪枝则是通过在完全生长的树上剪去分枝实现的，通过删除节点的分支来剪去树节点，可以使用的后剪枝方法有多种，比如：代价复杂性剪枝、最小误差剪枝、悲观误差剪枝等等。后剪枝操作是一个边修剪边检验的过程，一般规则标准是：在决策树的不断剪枝操作过程中，将原样本集合或新数据集合作为测试数据，检验决策树对测试数据的预测精度，并计算出相应的错误率，如果剪掉某个子树后的决策树对测试数据的预测精度或其他测度不降低，那么剪掉该子树。