如何正确理解古典概率中的条件概率 《考研概率论学习之我见》 -by zobol

“B事件发生的条件下，A事件发生的概率”?

"在A集合内有多少B的样本点"？

“在B约束条件下，A发生的概率变化为？”

“B事件中的一个样本点，同时也落在A样本点集合的概率是多少”

“将B作为样本空间，则A的概率变为多少”

 

1.条件概率在古典概率中到底该怎么被定义？

2.从交事件AB来推导条件概率公式

3.在考研古典概率中，条件概率公式的一些不足

4.在现实生活中如何理解条件概率？

 

一、条件概率在古典概率中到底该怎么被定义？

 

我们经常把条件概率定义为“B事件发生的条件下，A事件发生的概率”，这个定义如果一开始就扔出来，往往会对后面的学习产生误导。

 

因为B事件发生可以看作是“随机事件B中的一个基本样本点的发生”，但是古典概率中样本点都是平等的，所以是不可能互相产生影响的。也就是说事件B中的一个基本样本点，就古典概率来讲，对A事件中包含的任意样本点都不会产生关系。

 

这个推论可以总结为“古典概率的所有样本点之间都是等概率的，都是平等的”

 

其实这就是古典概率的两条定义之一，那到底在古典概率中，应该怎么定义条件概率呢？

其实应该定义为

“B随机事件中包含的任意一个样本点，也同时属于A事件的样本点集合的概率”

 

那为什么要这样定义呢，还是需要从交事件P(AB)的计算中来推导。

 

二.从交事件AB来推导条件概率公式

交事件的意思就是“A、B同时发生的概率”，如果我们知道P(A)和P(B)那么如何计算P(AB)呢？

许多人都想到直接相乘：

 

但是P(AB)真的一定等于P(A)乘P(B)吗？

这里其实隐藏了一个条件就是：事件A和事件B两者没有任何关系，只有这样才能直接相乘。

但是古典概率的各个样本点之间的关系是

“古典概率各个样本点事件互为互斥事件”

这意味着什么呢？意味着发生了事件A中的一个样本点，则事件A集合之外的样本点一定会不会发生。

 

这也就是说如果事件A，B存在于一个样本空间，那么从古典概率的角度来看，它们之间就是一定存在联系的，不能这样直接乘。

 

那应该怎么做呢？我们还是从V-N图的思路来想，P(AB)可以看作是从样本空间任意选取一个样本点，正好落在AB的重复交合区域的概率。

 

*那么我们已经知道P(A)的概率了，也就是“在空间中任意选取一个点，落在A的概率”，如果我们把范围再缩小一次，也就是说我们可以得知，在A集合内有多少B的样本点，这样一个比例，然后用P(A)去乘这个比例，就可以得到最终结果P(AB)。

 

（注意：我们需要得知的不是“存在于A中，也同时存在于B中的而样本点个数”，而仅仅需要得知一个比例值（如果知道前者，就不需要计算这么麻烦，直接古典概率定义就好））。

这个比例值就是条件概率：

 

所以条件概率的定义出现：

“B事件中的一个样本点，同时也落在A样本点集合的概率是多少”

 

可见，在古典概率中，如果用“B事件发生的条件下，A事件发生的概率”这种定义，是不容易推导出条件概率的公式定义的，必须从交事件来推导，但这种推导也会产生一个小疑惑。

 

三.在考研古典概率中，条件概率公式的一些不足

根据我上文之前的推导，我们可以推导出这样的公式：

 

这个公式，可以看作是，事件A,B的发生顺序，对AB同时发生是没有影响。

 

这是因为古典概率中的事件发生，都可以看作是集合运算，而集合运算交换律，计算顺序不影响结果。

但是在现实世界就不不一定是这样的了。

 

四.在现实生活中如何理解条件概率？

在现实世界我们遇到很多事件，是具有顺序性的，比如零件组装，如果事件B先执行，那么事件A可能就做不了，这应该怎么设计事件呢。

答案是没法设计，因为这是古典概率本身的定义导致的缺点，如果遇到这样的事件你就不可以使用古典概率来预测了，需要换模型了。

 

那么就单纯谈古典概率中的条件概率，我们可以理解为：

“B事件中的一个样本点，同时也落在A样本点集合的概率是多少”

“如果B事件必然发生，则A事件也跟着B事件发生的概率是多少”

 

由此推出了v-n图理解，可以看作是样本空间的缩小。

“将A作为样本空间，则B的概率变为多少”