非传统题与随机算法

$\text{非传统题与随机算法}$

$\text{1 通信题}$

$\text{1.1 单轮通信题}$

这类通信题一般指，仅进行一次通信的通信题，这也是大多数通信题的形式。

一种通信策略是对信息的（有损）压缩，你可以在保证一定正确率的情况下只传递部分信息。

另一种策略是将信息转化成另一种形式，比如哈希。

在实际问题中，需要关注对信息的需求，分析哪些信息是冗余的，这往往是解决通信题的关键。

$\text{例题 1.1.1：Multiple Communications}$

https://qoj.ac/contest/997/problem/4675

题意：

给定两个长度为 $100$ 的序列 $a,b$，序列中的每个元素是 $1000$ 位的二进制数。A 只能看到 $a$，他只能向 C 发送 $3000$ 个二进制位，类似的，B 只能看到 $b$，他也只能向 C 发送 $3000$ 个二进制位。

C 要根据收到的信息回答 $100$ 个问题，每个问题给定一个二进制数 $c$，他需要回答正整数 $x,y$ 满足 $a_x\text{xor}{b}_y=c$，回答对 $96$ 个问题即算 AC。

解法：

$100$ 个 $1000$ 位二进制数，总信息量为 $100000\text{bits}$，但是我们只能发送 $3000\text{bits}$。

考虑一下有损压缩，我们从 $1000$ 位中随机选择 $30$ 位，每个数只保留这些数位后传递。

看起来这样很可行，实际上如果这 $100$ 个数中，前 $992$ 个数位都是相同的，只有后 $8$ 位不同，正确率会大大降低。

再考虑一下哈希，一个二进制数可以看成一个集合，异或运算可以看成集合的对称差运算，而对集合的哈希可以考虑 xor-hashing，即，对每一个数 $x$ 随机一个 $[0,2^{30}-1]$ 的权值 $w(x)$，一个集合 $S$ 的哈希值 $H(S)$ 定义为 ${\text{xor}}_{x\in S}w(x)$。可以直观的感受到，任取一个集合，它的哈希值可以近似看做 $[0,2^{30}-1]$ 里的一个随机数。

由于异或存在消去律，令两个集合 $S,T$ 的对称差为 $S\bigsqcup T$，则有 $H(S\bigsqcup T)=H(S)\text{xor}H(T)$。

回到题目中，我们将题目里的所有二进制数看成集合，异或看成对称差运算，A 和 B 共用同一个 $w$ （比如使用相同种子的 mt19937 依次生成 $w(1),w(2),\cdots ,w(1000)$，或者本地生成好后打表），对每个集合计算哈希值即可。

$\text{例题 1.1.2：Mapa}$

https://qoj.ac/contest/1271/problem/6669

题意：

A 有 $N$ 个正整数二元组，第 $i$ 个二元组为 $(x_i,y_i)$，保证 $x_i$ 互不相同，A 要发送 $K$ 个二进制位给 B。

B 在收到信息后，需要回答 $Q$ 个问题，每个问题给定一个 $x_0$，B 需要回答一个正整数 $y_0$ 使得存在一个二元组 $(x_0,y_0)$，保证一定有解，即 $x_0$ 在 $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ 中出现过。

$1\le N,Q\le 100,1\le x_i,y_i\le {10}^9$，$K\le 3000$ 即可通过。

解法：

直觉上特别违背信息论，因为只能传递 $3000$ bits，而传递 $y_i$ 已经需要 $3000$ bits。

由于 B 在回答问题的时候知道了 $x_0$，我们不妨思考一下是否有必要传递 $x_i$。

先考虑有损压缩，尝试随机删掉所有 $x_i$ 的某一个二进制位，只要不出现两个相同的 $x_i$，就可以一直删，删完之后只需要额外传递 $30$ bits 表示哪些位被删掉了，此做法可以得到 $58$ 分左右。

但是我们的目标是满分，我们不能在 $x$ 上花费任何的代价。

假设 B 知道了所有 $x_i$，那么 A 只需要按 $x_i$ 排序后传递 $y_i$。思考一下能否将给定的二元组转化成一些固定的 $x_i$，比如将所有 $x_i$ 变成 $[1,N]$ 的排列。

拉格朗日插值！

$N$ 个二元组唯一确定了一个 $N-1$ 次多项式，将这个多项式求出来，传递 $[1,N]$ 的点值（传系数也行），插值一下就能求出 $y_0$，由于插值有除法，可以在模 ${10}^9+7$ 下算，需要的位数不变。

$\text{例题 1.1.3：Ancient Machine}$

https://qoj.ac/contest/878/problem/3098

题意：

给定一个长度为 $N$ 的，只包含 X,Y,Z 的字符串，你可以不断的删去一个字符，如果选择了一个 Y，且它左边是 X，右边是 Z，你会得 $1$ 分，其它情况不得分。构造一个删除的方案，最大化得分。

A 和 B 都知道 $N$，但 A 知道字符串，B 不知道。A 可以向 B 发送 $L$ 个 bits，B 在收到信息之后，需要构造出方案。

$3\le N\le {10}^5,L$ 不超过 $70000$ 即为满分。

解法：

按照这节的引言所说，首先我们需要明确 B 需要什么，不妨简化一下问题，如果 B 知道了所有信息怎么做。

将最左边的 X 和最右边的 Z 拿出来，只有中间那一段有用。对于一个同字符的极长连续段，其中也只有一个有用。也就是说字符串一定可以被转化成 XY?Y?Y?...?YZ 的形式。观察到其中一定存在子串 XYZ，将这个 Y 删去，然后删去两边之一（注意不要把头尾删去），就能得到一个子问题。

一个特别简洁的方法是，取最左边的 Z，然后从这个 Z 前面的位置不断往前删，直到前面只剩下一个开头 X（注意这个 X 不要删掉），然后删去这个 Z，取下一个 Z 进行相同的步骤。这个做法只需要知道所有 Z 的位置。进一步观察，发现只需要知道每一个 Z 的连续段的最后一个位置就行。

也就是说，我们发送的长度为 $N$ 的 $01$ 串不存在相邻的 $1$，考虑计算一共有多少长度为 $N$ 的串，写出 dp 式子发现就是斐波那契数列的第 $N$ 项，小于 $2^{70000}$，理论可行，但是数字太大了，算起来很慢，退而求其次，考虑分块，枚举一些块长，发现：

将串每 $63$ 个分一块，用 $44$ bits 传递就行。

至于如何实现？我们可以计算出一个串是字典序第 $rank$ 小的串，传递 $rank$，解密的时候，类似线段树二分，可以根据 $rank$ 是否小于等于填 $0$ 后的方案数，确定每一位是 $0$ 还是 $1$。

$\text{习题 1.1：}$

• https://yundouxueyuan.com/p/YDSP2023D1BonusB
• https://qoj.ac/contest/1782/problem/9237
• https://qoj.ac/contest/1633/problem/8642

$\text{1.2 实时通信题}$

与 $1.1$ 相对，这类通信题中，各方可以进行在运算过程中实时通信。

大多数情况下，一方充当“交互库”的角色，解决问题的关键是如何设计另一方的问题，即，我们首先需要明确另一方需要什么，然后问题就转化成了 $1.1$ 的形式，我们需要尽可能高效的回答另一方的问题。

下面这个例题中，双方互相充当对方的“交互库”。

$\text{例题 1.2.1：Two Transportations}$

https://qoj.ac/problem/67

题意：

A 手上有一张 $N$ 个点 $M_A$ 条边的无向带权图 $G_A$，B 手上有一张 $N$ 个点 $M_B$ 条边的无向带权图 $G_B$。

A 想知道，若考虑所有 $M_A+M_B$ 条边，即把两张图“并起来”后，节点 $0$ 到每个点的最短路。A 和 B 可以实时通信。

$1\le N\le 2000,0\le M_A,M_B\le 5\times {10}^5,1\le \mathrm{边}\mathrm{权}\le 500$，总发送量不得超过 $58000$ bits。

解法：

考虑 Dijkstra 的过程，每次找到一个距离最小的点去松弛，如何知道最小的点？我们可以令 A 和 B 把最小的距离发给对面，如果发现自己的距离小，就将对应点的编号发给对面，这样双方都知道最小的点了。

还有一个问题是，这个距离可能会达到 $O(NW)$ 级别，$W$ 是边权范围。令 $M$ 为目前已知点中距离的最大值，那么距离一定在 $[M,M+W]$ 之间，传递的时候减去 $M$ 再发送，一轮松弛传递的比特数量为 $2\log W+\log n=29$，总共不超过 $29n=58000$ 比特，可以通过。

$\text{习题 1.2：}$

• https://qoj.ac/contest/877/problem/3097

$\text{1.3 加密通信}$

有些题目交互库是自适应的，也就是说 A 和 B 的通信，会被很“聪明”的交互库干扰，一般来说这个交互库真的很聪明，以至于在假设交互库的策略均匀随机的情况下，即使有着极高的正确率，依然无法通过。

但是，你不让交互库看出来你在说什么，不就行了吗？😂

$\text{例题 1.3.1：Magic Show }$

https://qoj.ac/contest/1684/problem/8726

题意：

A 和 B 参与一个游戏，他们被关在两个房间中，不能相互通信，游戏的步骤如下：

• A 选择一个整数 $n\in [2,5000]$ 告诉主持人 C。
• C 告诉 A 一个整数 $X\in [1,{10}^{18}]$。
• A 生成一个 $n$ 个节点的有标号的无向无根树，告诉 C。
• C 从树中删去至多 $\lfloor (n-2)/2\rfloor$ 条边，并将剩余的边告诉 B。
• B 根据这棵残缺的数猜出 $X$。

解法：

我们不妨传递一条链，A 和 B 事先商量好一个随机排列 $P$，A 将所有节点 $u$ 变为 $P(u)$ 后传递，B 接收到信息后将所有节点 $u$ 变为 $P^{-1}(u)$ 后，即得到原来的链。

在 C 的视角中，他收到的信息可以近似的看成一个随机排列，他不知道在说什么，只能闭眼乱删一半的边。

取 $n=4800$，其中令 $[1,1200]$ 为 I 类点，$[1201,2400]$ 为 II 类点，$[2401,4800]$ 为 III 类点。对于 $X$ 的每一个二进制位，分配 $20$ 个 I 类点（即传递 $20$ 次，因为 C 的策略已经退化成随机删边，一个 bit 的正确率为 $1-2^{-20}$，已经足够大），如果这一位是 $0$，我们不管它，如果这一位是 $1$，我们将每一个 I 类点连上一个 II 类点，最后用所有 III 类点把它们串起来。

B 接收到信息之后，只需要看每一个二进制位，是否存在至少一个 II 类点相邻，即可确定这一位是什么。

这题还有很多离谱做法，比如把节点 $i$ 连到 $(xmod(i-1))+1$，直观上你不可能从 $5000$ 个数中选出 $2500$ 个数使得它们的 $\text{lcm}\le {10}^{18}$。

或者，对于所有点，如果代表的数位是 $0$，就挂在 $1$ 上，如果代表的是 $1$，就挂在 $2$ 上，但这样交互库可以把挂在某个点上的所有边都删掉。那我们就事先商量好一个随机 $01$ 串，把每个点的策略异或一下，在交互库的视角里面，它只知道一个随机 $01$ 串，如果 $X$ 的每个二进制位用 $80$ 个节点代表，正确率高达 $(1-2^{-80}{)}^{60}$ 约为 $0.99999999999999999999995036916325$，非常优秀。

😅。

$\text{习题 1.3：}$

• 尝试用这种方法在 习题 1.1 的一道题 https://qoj.ac/contest/1782/problem/9237 中得到尽可能高的分数。

$\text{2 交互题}$

一般来说做交互题时，你需要先明确解决问题需要什么信息，针对这一点设计询问方式。

一些题目需要运用启发式算法（俗称乱搞），还有一些题目需要发现一些性质，或者“灵光一现”。

$\text{2.1 随机化与启发式算法}$

这部分的题目，解法大多为随机化算法或启发式算法。

对于复杂的随机化算法或启发式算法，只需要感性理解复杂度，不需要证明，多数情况下，不断加入你所认为正确的优化，优化着优化着，就过了。

$\text{例题 2.1.1：网络恢复}$

题意：

https://uoj.ac/problem/550

给定整数 $N$ 和 $M$，有一张 $N$ 个点 $M$ 条边的无向简单图，需要你猜测出所有的边。

你可以进行至多 $50$ 次如下操作，每次操作步骤如下：

1. 给每个节点 $i$ 设定一个权值 $a_i\in [0,2^{64}-1]$。
2. 选取一个边的子集 $S$。
3. 对于每个 $i$，交互库会计算出 $b_i={\text{xor}}_{u=1}^n[(i,u)\in S]a_u$，即，在只考虑 $S$ 中的边的情况下，所有 $i$ 的邻居的权值异或和。
4. 你会得知所有的 $b_i$。

$N={10}^4,M=3\times {10}^5$，不自适应。

解法：

将所有边随机分成大小相等的 $50$ 份，对每一份进行一次询问，$a_i$ 随机生成，得到的 $b_i$ 可以看做是对 $i$ 的邻居集合进行 XOR-Hashing 的结果。

如果是一棵树的话，可以类似拓扑排序，逐步删叶子（叶子的判定只需要检查 $b_i$ 是否为某个设定的权值即可）。这个想法可以拓展到图上，先逐步删度数为 $1$ 的点，如果没有了，就随便取一个点 $x$，有很大概率其度数为 $2$，枚举一个点 $y$，用哈希表查询是否存在另一个点 $z$，如果有，就成功删掉了 $x$，此时它的两个邻居 $y,z$ 可能成为度数为 $1$ 的点，加入队列后继续删即可。

$\text{例题 2.1.2：Longest Trip}$

https://qoj.ac/problem/7119

题意：

给定一个 $N$ 个点的无向图，保证对于任意三个不同的节点 $u,v,w$，边 $(u,v),(v,w),(u,w)$ 中至少存在一条。

你可以进行若干次询问，每次询问给出两个点集的子集 $A,B$ 满足其交集为空。交互库会告诉你是否存在 $x,y$ 满足：$x\in A,y\in B$ ，且边 $(x,y)$ 存在。

试通过询问求出一条最长路。

$3\le N\le 256$，询问不超过 $400$ 次得满分，不自适应。

解法：

考虑充分利用“每三个点之间至少有一条边”的性质。

维护两条链 $L_1,L_2$，令两条链的第一个节点为 $s_1,s_2$，最后一个节点为 $t_1,t_2$，步骤如下：

• 检查 $t_1,t_2$ 之间是否有边，如果有就将 $L_2$ 接在 $L_1$ 后面，然后清空 $L_2$。
• 任取一点 $u$，检查 $u,t_1$ 之间是否有边 ，如果有就将 $u$ 加入 $L_1$ 末尾。如果没有，此时要么 $L_2$ 为空，可以把 $u$ 加到 $L_2$ 的末尾；要么 $u,t_1$ 没边，$t_1,t_2$ 没边，$u,t_2$ 一定有边，也可以把 $u$ 加到 $L_2$ 的末尾。

执行上述步骤，会得到两条链，查询 $(s_1,s_2),(s_1,t_2),(t_1,s_2),(t_1,t_2)$ 是否有边，如果其中之一有，找到哈密顿路，做完了。否则由于 $(s_1,s_2),(t_1,s_2)$ 没边，$(s_1,t_1)$ 有边；由于 $(s_2,s_1),(t_2,s_1)$ 没边，$(s_2,t_2)$ 有边，也就是我们会得到两个环。然后查一下两个环之间是否有边，如果没有，输出最大的环；如果有，二分找一下，然后在一个环绕一圈，经过这条边走到另一个环，然后再另一个环上在绕一圈，找到哈密顿路。

询问次数是 $O(n)+2\log n$ 的，得到 $85$ 分，考虑给 $O(n)$ 部分稍微改改。

维护两条链，可以设计势能函数为：两条链大小之和。检查 $t_1,t_2$ 是否联通这一步并不会减少势能。

如果同时维护多条链，每次随机取两条链，检查末尾是否有边，可以设计势能函数为：链的个数。检查末尾是否有边这一操作，有概率减少势能。

还有一个优化是，有时会已知存在两条链的末尾之间没有边，此时不需要检查，直接拿来做即可。

$\text{例题 2.1.3：麻将}$

https://yundouxueyuan.com/p/YDRG005F?tid=65ccf4cbfbfb0fad8af18874

题意：

本题的麻将不含字牌，共 $3\times 4\times 9=108$ 张，不允许七对子胡。

在本题中，你需要和交互库玩如下游戏：

1. 游戏开始时，交互库将这一副麻将按某种顺序排列组成牌堆，保证牌堆顶 $13$ 张牌的听牌集合大小 $\ge 2$。
2. 交互库将牌堆顶 $13$ 张牌作为她的手牌，然后将牌堆顶第 $14$ 张到第 $43$ 张牌（共 $30$ 张牌）亮出，你可以看到这些牌，注意这些牌可能属于交互库手牌的听牌集合，也可能不属于。然后移除这 $43$ 张牌（即此时牌堆顶的牌，是初始牌堆的牌堆顶第 $44$ 张牌）。
3. 你猜测一张牌，若这张牌属于交互库手牌的听牌集合，则游戏结束；否则交互库会亮出牌堆顶的 $3$ 张牌中不属于听牌集合的所有牌，并移除牌堆顶的 $3$ 张牌，你需要继续猜测。注意，如果听牌集合内的一张牌全部被翻出，其仍然属于听牌集合。
4. 游戏结束时，令你的代价为你的猜测次数。

你需要尽可能最小化游戏的代价。

保证数据随机，$10000$ 局游戏猜测次数不超过 $41301$ 次即可通过，更多细节见原题面。

解法：

这是一道考察纯启发式算法的交互题。

如果从 $5$ 往两边猜，并跳过已经确定不合法的，可以得到 $12$ 分上下。

本题中保证至少两面听，大致可分为如下几种听牌的类型：

• $x,x+1$ 型，例如 1m 1m 1m 2m 2m 2m 3m 3m 3m 4m 4m 2s 3s。
• $x,x+1,x+2,x+3$ 型，例如 1m 1m 1m 2m 2m 2m 3m 3m 3m 1s 2s 3s 4s。
• “双碰”型，例如 1m 1m 1m 2m 2m 2m 3m 3m 3m 4s 4s 5s 5s。

也可能会有 $\ge 3$ 面听，事实上这种情况出现的较少，对代价的贡献也比较小，我们可以忽略。

介绍一下麻将的防守技巧：

• 筋牌：假设你知道对面不听某花色的 $4$，那么听 $1$ 的概率会大大降低（不存在 $2,3$ 或 $1,2,3,4$ 型），听 $7$ 的概率会有所降低。
• 壁牌：假设牌河中已经有很多某花色的 $3$，那么听 $1,2$ 的概率会大大降低；若牌河中有很多 $4,6$，那么听 $5$ 的概率会大大降低。

上述技巧不能适用于“双碰”型，即 $3$ 个面子 $2$ 个雀头的听牌形状。事实上这类听牌在现实生活中，在不知道对方是这类听牌的情况下也没有很好的防守技巧。

我们需要对筋和壁设计估价函数，如果对这两种防守技巧设定参数，会变得很复杂，尤其是壁牌。但这两种技巧有一个共性，即它们都减少了在剩余牌中凑出听牌形状的方案数。

我们令 $f(x)$ 表示牌 $x$ 的估价函数，对于 $x,x+1$ 型是很好设计的，把没有筋牌的部分两张牌的剩余数量乘起来就行；对于 $x,x+1,x+2,x+3$ 型，由于要乘四张牌，显然不平衡，根据物理学中的单位统一，把这四张牌乘起来开根；“双碰型”的话，它还是需要乘四张牌后开根，而且这种类型比较特殊，它的出现概率会随着你猜测次数增大而增大，所以还需要乘上一个随操作次数递增的函数，可能要调一会儿这个参数。

这个函数的表现并不是很理想，我们令 $g(x)$ 表示，若钦定 $x$ 不合法后，所有牌的 $f(x)$ 之和，然后按选取 $g(x)$ 最小的即可。

欢迎各路大神薄纱 std！

$\text{习题 2.1}$

• https://qoj.ac/problem/9909
• https://qoj.ac/problem/9914
• https://qoj.ac/problem/9156
• https://qoj.ac/problem/5568
• https://uoj.ac/problem/810

$\text{2.2 交互题中的思维题}$

这一节中的题目，往往需要多发现性质，或者需要“灵光一现”。

$\text{例题 2.2.1：Ancient Machine 2}$

https://qoj.ac/contest/1300/problem/6774

题意：

你需要猜测一个长度为 $N=1000$ 的 $01$ 串 $S$，一次询问需要给出一个整数 $m\in [1,1002]$ 和两个长为 $m$ 的序列 $a,b$，序列中的每个元素 $\in [0,m-1]$。

交互库会做如下的过程，初始时令 $u:=0$，然后进行 $N$ 次操作，第 $i$ 次操作为：若 $S_i=0$，则令 $u:=a_u$；若 $S_i=1$，则令 $u:=b_u$，其中 $:=$ 表示赋值操作。

操作完后会告诉你 $u$ 的值。

也就是说，你需要给出一个大小为 $m$ 的自动机，交互库会返回跑完这个字符串 $S$ 后 $u$ 的值。

你至多进行 $1000$ 次询问，欲获得满分，你需要保证 $m\le 102$。

解法：

令 $n=1000$，即答案长度。

由于不需要优化询问次数，且询问次数限制为 $n$，考虑问出 $n$ 个方程把答案解出来。

一个想法是选一些位置，问出它们的异或和。询问的自动机大概是有左右两部分，读取到这些位置的时候，如果这个位置为 $1$，就跳到另一部分，最后根据落在哪个部分得到某些位置 $1$ 的个数奇偶性，也就是这些位置的异或和。

搞两个长度为 $x$ 的环，对于每个环上的第 $y$ 个节点，$1$ 边指向另一个环的下一个节点，其余边均指向当前环的下一个节点，询问这个自动机，可以得到所有模 $x$ 为 $y$ 的位置上的异或和，只需要选 $n$ 个二元组 $(x,y)$ 就行。

不幸的是，这个矩阵不满秩，如果想要满秩的话，$x$ 的最大值能达到 $54$，即 $M=108$，不能通过。

考虑先确定前 $100$ 位，这个是简单的，确定第 $i$ 位时，节点 $j(j<i)$ 两条边指向 $j+1$，节点 $i$，$0$ 边指向 $i+1$，$1$ 边指向 $i+2$，$i+1,i+2$ 的两条边均指向自己。

然后考虑确定后 $100$ 位，确定倒数第 $i$ 位时，询问 $0+(\mathrm{倒}\mathrm{数}\mathrm{第}i-1\mathrm{位}\mathrm{开}\mathrm{始}\mathrm{的}\mathrm{后}\mathrm{缀})$ 的 KMP 自动机，看是否在最后一位上匹配。如果匹配则第 $i$ 位是 $0$，否则是 $1$。

对于中间 $800$ 位解方程，正好就卡进去了。

用 bitset 做消元，时间复杂度 $O(n^3/w)$。

$\text{习题 2.2}$

• https://qoj.ac/problem/8745
• https://uoj.ac/problem/751

$\text{3 提交答案题}$

常用的方法有：iddfs，A*，idA*，模拟退火，爬山，随机调整，估价函数。

但这不意味着只要了解了这些算法，你就是提答高手了。对什么设计 A* 的估价函数，怎样剪枝，对什么退火，如何随机，怎样实现更高效，都是要慢慢摸索的。

$\text{3.1 搜索类提答}$

此类题目的关键是找一个好的估价函数。

好的估价函数往往需要一定的时间尝试，“提答花的时间越久分数越多”这句话的原因就在此。

$\text{例题 3.1.1：}{N}^2\text{ 数码游戏}$

https://qoj.ac/problem/6689

题意：

用尽可能少的步数求解数字华容道。

题解：

对于测试点 $1$，可以爆搜，复杂度 $O((N^2)!poly(N))$。

对于测试点 $2,6$，可以剪十六个小纸片玩，观察发现前若干次操作一定是转矩形的最外面一圈，类似于 UUULLLDDDRRRUUULLLDDDRRR... 的过程，当把 $1,2,3,4$ 转到最上面的时候，剩余部分可以暴力或者用下文方法解。

考虑 A*，设计一个估价函数，每一层只保留一些可能比较优的状态，可以试试如下几个。

• 每个数到终点的曼哈顿距离，的和/平方和/立方和/平方根和。
• 重新定义距离：$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 的距离为 $(|x_2-x_1|+1)(|y_2-y_1|+1)$，算和/平方和/立方和/平方根和。
• 将距离乘上 $0$ 到这个数的距离，算和/平方和/立方和/平方根和。

实测和/平方根和比较优秀。

这样子会出现一个现象，目前队列中估价函数最低的会在两个数中反复横跳，每次扰动一步显然是不够的。可以在模 $2/3/4=0$ 的某一轮中删减状态。

需要调一调删除的频率和保留的状态数。

当然估价函数并不全面，比如有两个相邻但位置相反的数，空格又隔得特别远。其实这种状态是很劣的，但这几种估价都会认为这种状态很优秀。或者说多个路径交错在一起，也是特别劣的，但很难设计函数把它们区分开，欢迎各位来交流更好的估价函数。

题外话：关于多项式复杂度的构造方法，也是我的赛时做法：

• 大概思路是按照 $1,2,\cdots ,N^2$ 的顺序归位，已经归位的不去动它。
• 对于前 $N-2$ 行的前 $N-2$ 列，记录状态 $(ux,uy,ex,ey)$，表示目前需要归位的数和空格分别在什么位置，爆搜就行。
• 对于前 $N-2$ 行每一行的最后两列，并不能保证上一条能跑出解，但是我们一定可以把棋盘变成下面的形状之一（. 表示空格，? 表示没被归位的数字）：

1 2 . 3
? ? ? 4

1 2 4 .
? ? 3 ?

所以记录状态时记录两个数的位置和空格的位置，也一定能得到解。

• 对于后两行，由于最后一行极有可能顺序不对，上述方法不能使用。从左往右枚举列，同时归位这一列的两个数，假设 $N=4$，目前归位 $9,13$，只需要在第三行令 $13$ 和 $9$ 挨在一起，然后转下来就行，也可以记录三个坐标爆搜。

1 2 3 4
5 6 7 8
? 13 9 ?
? ? ? .

复杂度 $O(n^7)$。肯定有更优的做法。

但这样构造，我只在测试点 $9$ 得到了 $3$ 分，其余均为 $2$ 分。

$\text{习题 3.1}$

• https://qoj.ac/problem/6760

$\text{3.2 随机类提答}$

与 $3.1$ 同理，需要尝试退火的对象，尝试不同的参数。

要注意的是，一般来说，跑一轮退火容易陷入局部最优解，跑多轮退火就能解决这一点。

$\text{例题 3.2.1：Road Service}$

https://qoj.ac/problem/118

题意：

给一棵无向无权树，你需要往里面加入 $K$ 条边，尽可能最小化：两两节点之间的最短路长度之和。

解法：

说一下我做这个题的过程：

我一开始想的是，加入一条令总距离减少最多的边，但这样实在是太慢了，于是我就随了几条边取最优，这个表现并不是很优秀，在 case 2 只得到了 $18\mathrm{\%}$ 的分数。

打算给 case 1 写一个暴力，算量是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n(n-1)/2}{k})n^2$，在一个不错的电脑上能 $10$ 分钟内出解，发现连出来的是一个菊花图，想了想发现菊花图确实很对，因为菊花图内部的路径非常短，每个点到菊花图上的路径长度也很小。

直觉告诉我，菊花的根选择重心，但是选择菊花叶子比较麻烦，因为算一次代价是 $O(n^2)$ 的，但是可以随机尝试几个叶子啊，这样能在几分钟内在 case 2 跑出 $60\mathrm{\%}$ 到 $70\mathrm{\%}$，调用全家电脑去跑枚举所有叶子的程序，得到了所有点的 $80\mathrm{\%}$ 到 $90\mathrm{\%}$。

题目中的代价不好维护，我想了一个估价函数，我们不妨忽略菊花，直接把菊花中的所有点“缩起来”。由此想到估价函数：每个点到菊花根的最短路径之和，这样计算一次代价只需要 $O(n)$ 的时间。

先贪心选令估价函数减少最多的点，选出一个集合，枚举集合内哪个作为根，可以在 $O(k{n}^2)$ 的时间内运行完毕，而且非常优秀，能在所有点得到 $90\mathrm{\%}$ 到 $95\mathrm{\%}$。

对叶子退火试试？每次扰动选择一个叶子和菊花图外的点交换并估价，每个点跑五六分钟就可以得到满分。

此题还有别的做法，一种是对叶子爬山，每次扰动随机一个子集换出，这个子集大小需要调一调，你甚至可以动态调整，发现爬不动了就多换一点。

还有一种是最小化估价函数的确定性做法，类似 NOI2008 奥运物流的二维树上背包，实现的好可以在一秒内出解，很厉害。

我的退火代码在 i7-1260P 2.10GHz 16GB 上，能在一分钟的时间对 case 6 处理完毕。

$\text{习题 3.2}$

• https://qoj.ac/problem/7281
• https://qoj.ac/contest/775/problem/3562

$\text{碎碎念}$

熟悉笔者的都知道，笔者是非传统题和启发式算法的究极爱好者，热衷于用各种“歪解”过题。

比如 2023 NOIP t3 ，我在长时间的坐牢之后，突发奇想用特殊性质的代码去跑没有特殊性质的大样例，发现只筛掉了约一半的测试点，由此尝试把序列 reverse 一下再跑一遍，就通过了；在 2024 联合省选 d2t2 中，对贝尔数的搜索加了很多剪枝，多跑过了 $15$ 分。

到了 NOI 2024，我非常幸运的在 day1 遇到两道擅长的题目：t1 是本文开头提到的 xor-hashing，t2 是我擅长的交互题，这两道题都是飞速通过，给 t3 留下了充足的时间；在 d2t1 中，根据多年写搜索的经验，想到去优化搜索的最后一层递归，多获得了 $10$ 分，这让我即便在误判 d2t2 难度，丢掉 $40$ 分的情况下，凭借这 d2t1 多的 $10$ 分和 day1 的优势，擦线进入了集训队。

进队之后，我被邀请到一些学校讲课交流，在正式内容提前讲完的情况下，我都会用之前做的非传统题填满剩下的时间。如果一切顺利，这篇文章会是我的候选队论文，可惜我在 CTT 中惨烈坠机，准确的说，根本就没起飞，没有任何一场比赛进入过前 $30$。

每当有人和我提起“乱搞无用论”之时，我都会用我的 oi 生涯坚定的反驳他，如果我不会乱搞，这个集训队我还能进吗，甚至说，这个江苏省队我还能进吗？

希望你们都爱上乱搞，爱上非传统题！