CF DS题做题笔记（持续更新）

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题目来源：Codeforces 的 problemset内，difficulty 2300-2600，并包含“data structures”的 tag。

1681F

题意：给定一棵树，边有边权 $w_i$，定义 $f(u,v)$ 为，$u,v$ 路径上只出现一次的权值个数，求 $\sum _{1\le u<v\le n}f(u,v)$，$1\le n,w_i\le 5\times {10}^5$。

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分析：考虑求出每种边权对答案的贡献，将某条权值为 $w$ 的边放到中间（图中标记的边权值为 $w$，其余均不为 $w$）。

将 $<6,7>$ 放在中间。

考虑能使 $<6,7>$ 产生贡献的路径个数。

显然，路径的一端要在 $\{1,3,4,6\}$ 里面选择，另一端在 $\{7,9\}$ 里面选择，可以理解为那些其他同权值的边把树断开了。

如果将所有权值为 $w$ 的边删除，那么某一条权值为 $w$ 的边对答案的贡献为两端连通块大小的乘积。

直接做时间复杂度为 $O(n^2)$，考虑基于值域分治。

定义 $solve(l,r)$ 为，求解所有 $w_i\in [l,r]$ 的边的贡献和，我们可以先将 $w_i\in [l,mid]$ 的所有边加入并查集，然后调用 $solve(mid+1,r)$，结束后将 $w_i\in [l,mid]$ 的所有边撤销，加入 $w_i\in [mid+1,r]$ 的所有边，并调用 $solve(l,mid)$，当 $l=r$ 时，只有一种权值的边没有加入，在并查集上查询求解即可。

由于并查集要可撤销，故不能路径压缩，运用按秩合并保证复杂度，总复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

此外这题可以用 LCT 求解，枚举到某一个权值，先将对应的边删除，求解，再加入，LCT 中维护树的大小即可，复杂度 $O(n\log n)$。

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1625D

题意：给定 $n$ 个整数，$a_1,a_2,...,a_n$，并给定一个整数 $k$，求出一个最大的集合 $S$，满足 $S$ 中的元素均 $\le n$，且对于任意两个 $S$ 中的元素 $x,y$，满足两数异或和 $\ge k$，$1\le n\le 3\times {10}^5,0\le a_i,k\le 2^{30}-1$。

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分析：如果两个数异或结果的最高位比 $k$ 大，则异或结果一定 $>k$，定义 $f(x)$ 表示当 $x$ 不含有前导 $0$ 的情况下二进制位数，考虑将所有数，在二进制表示中的末尾去掉 $f(k)$ 位，并按新的数分组，若两个数处于不同组，则它们异或和一定 $>k$。

对每一组分别求解，容易发现每一组最多只能选上 $2$ 个数，如果选 $\ge 3$ 个数，就一定存在两个数，它们异或和 $<k$，因为 $k$ 的最高位上的数字一定会有 $2$ 个 $0$ 或 $2$ 个 $1$。

设目前处理的那一组的数为 $b_1,b_2,...,b_m$，即要求出是否存在两个数满足异或和 $\ge k$，即求两个数最大异或和。将数转化为二进制，依次插入 trie 中，并查询最大异或和，即每次尽量往自己相反的方向走。

注意每一组求解完成后要清空 trie，不能 memset，要一个一个删除。

时间复杂度 $O(n\log A)$。

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1575I

题意：给定一棵树，点有点权 $a_i$，两点 $x,y$ 之间边的长度定义为 $max\{|a_x+a_y|,|a_x-a_y|\}$，其中 $|k|$ 表示 $k$ 的绝对值，有两种操作，一种是修改某个点的点权，另一种是查询两点间简单路径的长度，$1\le n,q\le {10}^5,0\le |a_i|,|a_i^{{}^{\prime }}|\le {10}^9$。

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分析：考虑化简一下边长的表达式：

1. $a_x,a_y\ge 0$，显然边长为 $a_x+a_y=|a_x|+|a_y|$；
2. $a_x,a_y<0$ 显然边长为 $-a_x-a_y=|a_x|+|a_y|$；
3. $a_x\ge 0,a_y<0$，这个可以感性理解下，$a_x-a_y$ 可以看做在数轴上将 $a_x$ 右移 $|a_y|$ 单位长度，$a_x+a_y$ 可以看做在数轴上将 $a_x$ 向左平移 $|a_y|$ 单位长度，由于 $a_x\ge 0$，所以边长为后者，即 $a_x-a_y=|a_x|+|a_y|$；
4. $a_x<0,a_y\ge 0$，根据绝对值的性质，边长可以写做 $max\{|a_y+a_x|,|a_y-a_x|\}$，与情况 $3$ 同理，可得边长为 $|a_y-a_x|$，即 $a_y-a_x=|a_x|+|a_y|$；

综上，$x,y$ 之间的边长为 $|a_x|+|a_y|$。

设 $x,y$ 之间简单路径上经过的点为 $u_1,u_2,...,u_k$，其中 $u_1=x,u_k=y$，则长度为 $|a_x|+|a_y|+2\sum _2^{k-1}|a_{u_i}|$，可以通过树链剖分修改和求解。

注意在查询前判断 $\text{lca}(u,v)$ 是否等于 $u$ 或 $v$，这决定了 $u_2$ 或 $u_{k-1}$ 的值。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

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1528C

题意：给定两棵树，求一个最大的集合 $S$，满足对于任意 $x,y\in S$，在第一棵树中 $x,y$ 一个是另一个的祖先，第二棵树中 $x,y$都不是对方的祖先。

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分析：考虑从第一个条件出发，要想满足第一个条件，所有点一定是在树上的某一条深度不断递增的链上，一次 dfs 可以求出所有的链。

现在的问题是怎么满足第二条链，一个很显然的方法是，当选择一个点时，将第二棵树中它的祖先和子树内所有点打上标记，这个可以用树链剖分，但是很麻烦。

考虑将祖先关系对应到 dfs 序上来，定义 $L_i,R_i$ 为节点 $i$ 在第二棵树 dfs 序上的最左边出现位置和最右边出现位置，dfs 第一棵树的过程中，是否选择当前节点 $u$，取决于是否在已经选择的区间中，有无包含 $[L_u,R_u]$ 的区间或被 $L_u,R_u$ 包含的区间，分如下三种情况：

1. 没有上述区间，则选择 $u$。
2. 有被 $[L_u,R_u]$ 包含的区间，此时不选择 $u$，这样不会使得答案变大，且会造成更多的非法节点。
3. 有包含 $[L_u,R_u]$ 的区间，删除包含它的区间并加入 $[L_u,R_u]$，虽然不会使答案变大，但是会减小非法节点的数量。

注意回溯的时候要撤销标记。

判断区间的包含关系可以用线段树解决，总复杂度 $O(n\log n)$。

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1508C

题意：给定 $n$ 个点的完全图，有 $m$ 条边 $<u_i,v_i,w_i>$ 确定了边权，另外的边没确定边权。如果给没确定边权的所有边赋予一个非负权值，满足所有边权值的异或和为 $0$，求赋权后图中最小生成树的最小权值。$1\le n\le 2\times {10}^5,1\le m\le min\{2\times {10}^5,\frac{n(n-1)}{2}-1\},1\le w_i\le 2^{30}-1$。

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分析：很显然，赋权时，只需要将一条边赋成给定权值的异或和，其余赋 $0$，考虑到如果 $n$ 很大，相对来说 $m$ 很小了，此时大多数都是没有标权值的边，一定会存在一个没有标权值的边构成的环，那么将所有没标权值的边赋 $0$，此时不会影响答案。

当存在 $n$ 条没标权值的边就一定存在环，，即 $m>\frac{n(n-1)}{2}-n$，由于 $m_{max}=2\times {10}^5$，所以当 $n$ 大于一个大约 $O(\sqrt{2\times {10}^5})$ 的数就一定存在环，其余情况下可以直接枚举。

现在的问题转换为如何求一个大多数边权均为 $0$ 的完全图最小生成树，可以用类似于 BFS 的方法处理只考虑边权为 $0$ 的边的连通关系，用 set 维护一下还没有考虑到的点即可。其余边用 Kruskal 往上加就行。

顺带提一句可以省去小数据枚举的方法，在跑 Kruskal 的时候记录哪些边被选上，跑完后重置 dsu，按边权从小到大排序，找到第一个连接两个不同连通块的边，且在第一遍 Kruskal 时没被选上，这样就可以选上它替代掉一条 $0$ 边。