数二数 题解
数二数 题解
我们定义 \(f_i\) 表示考虑 \(n=i\) 时的答案。
考虑怎样才能使得 Bob 存在一种出题方案使得 \(l\) 与 \(r\) 无法确定。假设包含点 \(i\) 的询问集合为 \(S_i\)，那么当 \(S_l=S_r\) 时 \(l\) 与 \(r\) 无法确定。
发现：如果 \(a<b<c<d\)，\(S_a=S_c\)，\(S_b=S_d\)，那么 \(S_a=S_b=S_c=S_d\)。也就是说，如果 \(a,c\) 无法确定，\(b,d\) 无法确定，那么 \(a,b\) 肯定也是无法确定的。
证明：\(S_a\) 肯定是 \(S_b\) 的子集。\(S_d\) 肯定是 \(S_a\) 的子集，因为 \(S_b=S_d\)，那么 \(S_a=S_b=S_c=S_d\)。
定义区间 \([l,r]\) 为不可识别段，当且仅当 \(l\) 与 \(r\) 无法确定。特殊地，当 \(l=r\) 时，我们意义上认为 \(l\) 与他自己也无法确定（想象一下你不可能区分你自己和你自己），但实际上可以表示为 \(l\) 不与任何一个点产生关系。那么肯定存在一种划分方法，可以将 \([1,n]\) 不漏地划分为若干个互不相交的不可识别段。
证明：当两个不可识别段相交或包含时，可以使用上面的发现将其化为若干个互不相交的不可识别段。当一个点不与任何其它点产生关系时，可以将其自己作为一个不可识别段。
我们定义 \(g_{i,j}\) 表示将 \([1,i]\) 独立地划分为 \(j\) 个尽量长的不可识别段[1]、不考虑左右端点的询问方案数[2]，这里的“独立地”表示每个询问只在不可识别段内，不会跨区间。
那么我们要计算跨区间的方案数。容易发现跨区间的询问的左端只能在区间的左端点，询问的右端只能在区间的右端点（如果询问端点在区间内部，一定不能保证某个 \(S_l=S_r\)，不满足条件）。我们可以方便地将这 \(j\) 个区间缩为 \(j\) 个点。那么 \(g_{i,j}\times f_j\) 表示将 \([1,i]\) 划分为 \(j\) 个尽量长的不可识别段的询问方案数。这里乘上 \(f_j\) 是为了将这 \(j\) 个不可识别段区分，以保证不可识别段尽量长[3]。
考虑 \(g\) 数组的转移。我们假设 \([i+1,i+k]\) 是一个新的不可识别段，因为不考虑左右端点，只有 \(k-2\) 个数，那么有 \(2^{\binom{k-1}{2}}\) 种方案。
特殊地，当 \(i=j\) 时，因为每个不可识别段两端都是相同的，我们认为不存在不可识别的数，那么容易发现这就是答案。
但是因为转移需要用到 \(f_i\) 本身，所以我们考虑计算他的补集，再用 \(2^{\binom{i+1}{2}}\) 减去即可。
有：
因为 \(g_{i,i}=1\)。
那么就有：
时间复杂度 \(O(n^3)\)。
[1]为什么要尽量长：
当钦定 \(S_a = S_b\) 与 \(S_c=S_d\) 时，也就是不可识别段为 \([a,b]\)，\([c,d]\)。但是如果有 \(S_a=S_c\) 时，那么 \([a,d]\) 也可以作为不可识别段。
如果 \([a,d]\) 为不可识别段，那么它也会统计 \([a,b]\)，\([c,d]\) 会统计的方案数，就算重了。
所以，当我们将 \([a,b]\)，\([c,d]\) 作为不可识别段时，其实就包括一个隐含条件： \(S_a\neq S_c\)。
[2]为什么不考虑左右端点：
对于不可识别段 \([a,b]\)。考虑左右端点无非只有一种询问：询问 \([a,b]\)。而这个我们会在下面计算上。
[3]为什么不是 \(g_{i,j}\times 2^{\binom{j+1}{2}}\)：
在同一段数下，因为保证了每一个不可识别段尽量长，那么不可确定点对不会算重。举个例子，当 \(n = 6\)，分段为 \([1,2,3],[4,5,6],[7,8]\)，这里分段表示钦定了 \(S_1=S_3,S_4=S_6,S_7=S_8\)，为了保证每一个不可识别段尽量长，那么 \(S_1\neq S_4\)；如果我们不将这些不可识别段区分，变成 \(S_1=S_4\) 的话，就有 \(S_1=S_6\)，\([1,2,3,4,5,6]\) 就是一个新的尽量长分段，不满足定义。
