【2021.6.26 NOI模拟】Problem B. 简单题 another solution
Problem Description
Input
从文件
b.in
中读入数据。一个正整数 n。
Output
输出到文件
b.out
中。一个整数表示答案。
Sample Data
Input #1 Copy
5
Output #1 Copy
31
Input #2 Copy
50
Output #2 Copy
2885
Data Constraint
首先,我们从小到大枚举 \(n\),假设当前枚举到 \(i\),\(S\) 会多出两个数 \(2i-1\) 和 \(2i\)。因为要插入其中一个到 \(A\) 中,还要使得和尽量小,所以我们选择向 \(A\) 插入 \(2i-1\)。
此时,\(A\) 中可能会出现 \(2i-1\) 的因子(不是质因子),那么我们就枚举出这些因子并把它们从 \(A\) 中移除。
假设我们移除了 \(x\) 个因子,那么 \(A\) 的大小就会减少 \(x\)。所以我们还要再插入 \(x\) 个数。这些数就选作刚刚我们移除的数的倍数。
因为 \(A\) 中不会同时出现倍数,所以我们插入每个被移除数最小的倍数——它们的 \(2\) 倍。
插入了部分数后,我们同样也要担心这些数是否在 \(A\) 中有因子,所以我们重复上面的操作:找因子,从 \(A\) 中移除,将这些移除的数的 \(2\) 倍加入 \(A\) 中。具体 dfs
就可以。因为每个数都只会进行一次这个操作,所以时间复杂度是 \(O(n\times 找因子时间)\) 的。实现较差可以做到 \(O(n\sqrt{n})\),但如果你的实现比较好,比如枚举每个数的倍数加入,可以做到 \(O(n\ln n)\) 的。这个做法不知道比正解差多少倍,但是想起来简单,没有弯路。但是需要注意常数。比如用链式前向星代替 vector
。
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 1000010
ll n, ans, a[N];
ll head[N], nxt[13470035], to[13470035], cnt;
void addEdge(ll u, ll v) {
cnt ++;
to[cnt] = v;
nxt[cnt] = head[u];
head[u] = cnt;
}
void init() {
for(ll i = 1; i <= n; i ++) {
addEdge(i, 1);
for(ll j = 2; i * j <= 2 * n; j ++) {
addEdge(i * j, i);
}
}
}
void dfs(ll x) {
for(ll j = head[x]; j; j = nxt[j]) {
ll i = to[j];
if(a[i]) { // 有因数,除掉
a[i] = 0;
ans -= i;
a[i * 2] = 1;
ans += i * 2;
dfs(i * 2);
}
}
}
int main() {
freopen("b.in", "r", stdin);
freopen("b.out", "w", stdout);
scanf("%lld", &n);
init();
a[1] = 1;
ans = 1;
for(ll i = 2; i <= n; i ++) {
ans += 2 * i - 1; // 必须加入
a[2 * i - 1] = 1;
dfs(2 * i - 1);
// printf("%lld %lld\n", i, ans);
}
printf("%lld", ans);
}