转载：线性求逆元推导

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1.转载：错位排列递推公式证明2023-08-17

2.转载：线性求逆元推导2023-08-20

3.正负数之间取模运算2023-08-25

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转载自：线性求逆元推导 - Katoumegumi - 博客园 (cnblogs.com)

本篇介绍线性求逆元的推导过程

• 对于一个质数 \(P\),我们需要求出 \(1-N\) 在 \(\mod P\) 意义下的逆元,如何使用线性的方法求其逆元呢?

• 首先,我们设 \(t=\lfloor\frac{P}{i}\rfloor,k=P\mod i\);

• 对于 \(i\times t+k\equiv0 \pmod{P}\),我们可以做出如下推导:

• 等式两边同时除以 \(i\times k\),我们可以得到新式子 \(\frac{t}{k}+\frac{1}{i}\equiv0 \pmod{P}\);

• 从而得到: \(\lfloor\frac{P}{i}\rfloor\times inv[P\mod i]+inv[i]≡0 \pmod{P}\);

• 最后得到 \(inv[i]=(-\lfloor\frac{P}{i}\rfloor+P)\times inv[P\mod i]%P\);

\(code:\)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
 
const int maxn=(1e7*2)+2;
ll n,p,inv[maxn];
inline ll add(ll a,ll b){return a+b<p?a+b:a+b-p;}
inline ll mul(ll a,ll b){return a*b<p?a*b:a*b%p;}
 
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&p);inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=mul(add(-p/i,p),inv[p%i]);
}