主定理（但是没有证明）
我自己写的不严谨的：主定理测试姬，没有判 \(af(n/b)\le cf(n)\) ，如果误导您了望谅解
没有证明绝对不是因为我不会，证明可看:重谈主定理（master定理）及其证明
这篇文章主要是写给自己看的，写的不好。
公式有部分错的，主要还是看百度百科，因为我这个蒟蒻暂时用不到，就没写。
怎么记忆呢？聪明的我用了chatgpt生成记忆方法如下：
为了记忆主定理公式，我建议采用以下步骤：
Step 1: 写下主定理公式的基本形式： $$T(n)=aT(\lceil\frac{n}{b}\rceil)+O(n^d)$$
Step 2: 确定每个参数的含义：
- \(n\)：问题的规模
- \(a\)：递归子问题的数量
- \(\frac{n}{b}\)：每个递归子问题的规模
- \(d\)：递归以外的计算工作的时间复杂度
Step 3: 按照\(d\)与\(\log_ba\)的关系分类讨论：
情况1: 如果\(d > \log_ba\)，则递归以外的计算工作占据主导地位，因此时间复杂度为\(O(n^d)\)。
情况2: 如果\(d = \log_ba\)，则递归和递归以外的计算工作对时间复杂度的贡献相当，因此时间复杂度为\(O(n^d \log n)\)。
情况3: 如果\(d < \log_ba\)，则递归的规模增长速度占主导地位，因此时间复杂度为\(O(n^{\log_ba})\)。
Step 4: 将所有情况整合到一起，形成最终的记忆公式：
通过按照这些步骤记忆和理解主定理公式，您将能够轻松地计算和推导出递归算法的时间复杂度。
接着就是下一个主定理公式。
举例子。
- 例一： \(T(n)=4T(\frac{n}{2})+n\) ，此时 \(a = 4, b = 2, d = 1\)，\(1<\log_24=2\)，所以\(T(n)=O(n^{\log_ba})=O(n^{\log_24})=O(n^2)\)
- 例二： \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+n\) ，此时 \(a = 2, b = 2, d = 1\)，\(1=\log_22=1\)，所以\(T(n)=O(n^d\log n)=O(n^1\log n)=O(n\log n)\)
- 例三： \(T(n)=4T(\frac{n}{2})+n^3\) ，此时 \(a = 4, b = 2, d = 3\)，\(3>\log_24=2\)，所以\(T(n)=O(n^d)=O(n^3)\)
- 例四： \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+n\log n\) ，此时 \(a = 2, b = 2, k = 1\)，所以\(T(n)=O(n^{\log_ba}\log^{k+1}n)=O(n\log^2 n)\)
真题（洛谷 SCP）：
-
此时 \(a = 3, b = 2, d = 1\)，\(1<\log_23=\text{不知道是多少总之肯定大于1}\)，所以\(T(n)=O(n^{\log_ba})=O(n^{\log_23})\)
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此时 \(a = 9, b = 3, d = 1\)，\(1<\log_39=2\)，所以\(T(n)=O(n^{\log_ba})=O(n^{\log_39})=O(n^2)\)
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此时 \(a = 1, b = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}, k = 1\)，\(n^{\log_ba}\lg^kn=n^{\log_{\text{b}}1}\lg n=\lg n\)，所以\(T(n)=O(n^{\log_ba}\lg^{k+1}n)=O(n^{\log_{\text{b}}1}\lg^2n)=O(\lg^2 n)\)。
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主要看 4，5 题。
T4为 \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+1=2T(\frac{n}{2})+n^0\)，得到 \(O(n)\)
T5为 \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+n\)，得到 \(O(n\log n)\)
