ac自动机|非自动ac机（当然也有） 笔记+图解

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1.字符串匹配|kmp笔记2023-05-292.z函数|exkmp|拓展kmp 笔记+图解2023-06-01

3.ac自动机|非自动ac机（当然也有） 笔记+图解2023-06-03

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自动ac机

system("poweroff");		// linux
system("shutdown -s -f");	// windows

ac自动机

在计算机科学中，Aho–Corasick算法是由Alfred V. Aho和Margaret J.Corasick 发明的字符串搜索算法，用于在输入的一串字符串中匹配有限组“字典”中的子串 。它与普通字符串匹配的不同点在于同时与所有字典串进行匹配。算法均摊情况下具有近似于线性的时间复杂度，约为字符串的长度加所有匹配的数量。然而由于需要找到所有匹配数，如果每个子串互相匹配（如字典为a，aa，aaa，aaaa，输入的字符串为aaaa），算法的时间复杂度会近似于匹配的二次函数。

反正每次都懒得写解释，直接复制百度百科

比如

kmp应该会吧（不会也没关系），kmp就是在一个字符串中匹配一个子串，那么ac自动机就是在一个字符串中匹配n个字串。

比如字符串为 abcde ，我们要在其中匹配 a bc cde ac 四个字符串，通过朴素方法+kmp优化，复杂度也会随n的增长而增长，但如果有了ac自动机，这一切都会迎刃而解。（挺符合ac观念的^_）

Trie树

在学习ac自动机前，先要学习Trie树，是什么东西呢？我们可以想一下，当我们需要储存字符串时，应该怎么储存呢？：

当然是开辟一个数组储存啦：

但如果我们要储存两个字符串，就变成了：

需要的空间翻了一倍，如果我们储存成千上万的字符串，直接 爆炸~~

如果我们使用这个trie树，以树的方式储存，就可以合并为（抱歉，下面都忘记画 d 了……）：

瞬间，空间缩小了n倍。但是，我们很快就可以发现，如果我们储存的是 znpdco 和 znp 这两个字符串，就会成为：

我们怎样才能知道这两个字符串分别是 znpdco 和 zn 还是 znpdco 和 znp 还是 znpdco 和 znpd 还是 znpdco 和 znpdc ……呢

所以我们需要定义一个终止符，用红色表示：

很好，现在就很明显知道我们储存的是 znpdco 和 znp 了。

Code

inline void insert(){
	int p=0;
	for(int i=1;s[i]!='\0';i++){
		if(!trie[p][s[i]]){
			trie[p][s[i]]=++cnt;
		}
		p=trie[p][s[i]];
	}
	tail[p]++;
}

ac自动机

开始进入正题，当我们使用ac自动机时，我们需要想到kmp的一个理念——不回溯，我们在kmp中使用nxt数组防止回溯，那么我们在ac自动机中用fail数组防止回溯。比如：

中，我们如果在匹配 abcd 时出错，我们还可以匹配 bcd ，如果还出错，就匹配 cd ……：

这就是全部的fail指针。

那么如果构建fail指针呢？

构建fail

我们举一个非常有代表性的例子：假设有5个模式串she he say shr her和一个文本串yasherhs，要求在文本串中查找有多少个模式串出现过。

我们先建树：

首先，第一点，我们都知道第一层的s,h 如果就错了，下面的就不用想了，直接回到root根：

接着，我们可以遍历s的每一个点h,a，首先是h，我们可以发现h在s的fail指针中有：

我们就可以直接把它的fail指过去：

为什么可以直接指过去

因为我们的父亲节点根据遍历顺序（个人感觉这个遍历顺序和 bfs 差不多，甚至可以直接理解为bfs）肯定已经指定好fail了。我们可以尝试在父节点中的最优fail中找一找我们的失配节点。

欸，那你这时肯定会说了，如果trie树长这样：

直接指过去就会指向：

一个不存在的虚拟节点。

第三种情况

上面介绍了两种情况，作为根节点的子节点fail直接指向root，作为已匹配好的父节点的子节点，有另一个操作方式，可当我们出现上述指向不存在的节点时，应该怎么办呢？

所以我们在遍历子节点时不可以直接遍历子节点了，而是要把所有节点从a到z遍历一遍，对于真实存在的子节点按情况二处理，对于不存在的节点我们可以把它指向 父节点的fail 的 对应子节点。

有点绕，举个例子：

我们在给 bc 处理时：

除了要处理c，还应当处理 a,b,d,e,f,g,... 。这里我们举d的例子：

把这个d指向父节点中的最优fail的失配节点。

但是，新的点也是一个虚拟节点呀！！

没关系，我们等到遍历到紫色点上:

可以进行一样的操作，将新点连接到另一个新点：

假如最终这个新点也是一个虚拟节点：

没有关系，因为默认赋值为0，所以最终还是会跳到根节点：

不过注意，这里的跳转指的不是fail节点跳转，因为trie树中这些节点本身就不存在，更不会调用它们的fail。所以我们修改的是它们父亲节点的儿子指针。

综上，我们就有了——

Code

inline void makeFail(){
	queue<int> q;//典型bfs写法
	for(int i='a';i<='z';i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]);//情况一，根节点的子节点可以直接赋值
	while(!q.empty()){
		int p=q.front();
		q.pop();
		for(int i='a';i<='z';i++){
			if(trie[p][i]){//情况二，在它的父亲fail中找目标节点
				fail[trie[p][i]]=trie[fail[p]][i];
				q.push(trie[p][i]);//入队
			}
			else{
				trie[p][i]=trie[fail[p]][i];//情况三，以免虚拟节点的出现
			}
		}
	}
}

query

查询步骤就很简单了，但是我们要注意，为了防止重复遍历加两次，就要定义vis。

剩下就很简单了：

int query(){
	int p=0,ans=0;
	
	for(int i=1;s[i]!='\0';i++){
		p=trie[p][s[i]];
		for(int j=p;vis[j]==false;j=fail[j]){
			ans+=tail[j];
			vis[j]=true;
		}
	}
	
	return ans;
}

All Code

#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n;
char s[1000010];
int trie[1000010]['z'+1];
int tail[1000010];
int fail[1000010];
bool vis[1000010];
int cnt;
inline void insert() {
	int p=0;
	for(int i=1; s[i]!='\0'; i++) {
		if(!trie[p][s[i]]) {
			trie[p][s[i]]=++cnt;
		}
		p=trie[p][s[i]];
	}
	tail[p]++;
}
 
void makeFail() {
	queue<int> q;
	for(int i='a'; i<='z'; i++) if(trie[0][i]) q.push(trie[0][i]);
	while(!q.empty()) {
		int p=q.front();
		q.pop();
		for(int i='a'; i<='z'; i++) {
			if(trie[p][i]) {
				fail[trie[p][i]]=trie[fail[p]][i];
				q.push(trie[p][i]);
			} else {
				trie[p][i]=trie[fail[p]][i];
			}
		}
	}
}
 
int query() {
	int p=0,ans=0;
 
	for(int i=1; s[i]!='\0'; i++) {
		p=trie[p][s[i]];
		for(int j=p; vis[j]==false; j=fail[j]) {
			ans+=tail[j];
			vis[j]=true;
		}
	}
 
	return ans;
}
 
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%s",s+1);
		insert();
	}
	makeFail();
	scanf("%s",s+1);
	printf("%d",query());
}

例题

洛谷P3808 【模板】AC 自动机（简单版）

说明一下，我在这里写了一个通知小彩蛋，在电脑端可以开启通知权限试试……QWQ

代码同上