z函数|exkmp|拓展kmp 笔记+图解

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题外话，我找个什么时间把kmp也加一下图解

修 \(\LaTeX\)：23年11月18号

这个 exkmp 和 kmp 没关系。

本文下标以 \(1\) 开始，\(1\) 开始就不需要进行长度和下标的转换，长度即下标。

定义

给出模板串 \(S\) 和子串 \(T\)，长度分别为 \(n\) 和 \(m\)，对于每个 \(\text{ans}_i(1\le i\le n)\)，求出 \(S_{i\cdots n}\) 与 \(T\) 的最长公共前缀长度。

举个例子：\(S=aabbabaaab\)，\(T=aabb\)：

当 \(i=1\) 时，\(S_{1\cdots n}\) 与 \(T\) 的公共前缀是 aabb，长度为 \(4\)，即 \(\text{ans}_1=4\)；

当 \(i=2\) 时，\(S_{2\cdots n}\) 与 \(T\) 的公共前缀是 a，长度为 \(1\)，即 \(\text{ans}_2=1\)；

当 \(i=3\) 时，\(S_{3\cdots n}\) 与 \(T\) 的公共前缀是 ，长度为 \(0\)，即 \(\text{ans}_3=0\)；

最终 \(\text{ans}\) 为 4 1 0 0 1 0 2 3 1 0。

大家可以自己计算并进行检验。

可以很快想到 \(O(n^2)\) 的做法，但会时超，所以我们要考虑优化，使用转移。

简化条件

我们为了简单，先简化一下条件：\(S=T\)，假如 \(S\) 与 \(T\) 完全相同，应该怎么做呢？

我们可以先发现 \(\text{ans}_1=n\)。易得：

代码：

ans[1] = n;

\(\text{ans}_2\) 需要我们的暴力求解，因为下列转移对于 \(S_{1\cdots i}\) 无意义。

代码：

int now = 0;
while(now+2 <= n && S[now+1] == S[now+2]) now++;
ans[2] = now;

---

我们设目前要求的是 \(k\)。为了通过转移求出 \(\text{ans}_k\)，我们要知道目前已求解部分中覆盖最远的下标，该下标范围内一定也是前缀相同的，我们希望这个最远的已求解部分可以覆盖我们的 \(\text{ans}_k\) 部分，这样我们就可以转移出来了。

如图，\(k\) 是我们要求的，\(p_0\) 是已覆盖最远位置的起点，\(p_1\) 是已覆盖最远位置的终点，即 \(p_1=p_0+\text{ans}_{p0}-1\)。就是说，我们要求的 \(\text{ans}_k\) 就在 \(\text{ans}_{p0}\) 中。

我们给 \(S\) 平移 \(p_0\) 位，即：

那么根据最长公共前缀的定义，\(S_{1\cdots (p1-p0+1)}=S_{p0\cdots p1}\)，下图中绿色部分相等：

所以，下图中的蓝色部分相等，紫色部分也相等，对应的部分都相等：

那么也就是设有长度 \(l\)，使得 \(S_{(k-p0+1)\cdots (k-p0+1+l)}=S_{k\cdots (k+l)}\)，即下图褐色部分相同：

假如 \(l=\text{ans}_{k-p0+1}\)，这个区间不就是它们的最长公共前缀吗？

又因为最长公共前缀的定义，得知下图褐色 \(1\) 与褐色 \(2\) 相等，上面转移得出褐色 \(2\) 和褐色 \(3\) 相等，进而得出褐色 \(1\) 和褐色 \(3\) 相等。

又因为褐色 \(4\) 和褐色 \(1\) 相等（同一个位置），所以褐色 \(3\) 和褐色 \(4\) 相等：

那么不就得出来了吗？褐色 \(3\) 的 \(\text{ans}\) 就是褐色 \(2\) 的 \(\text{ans}\)，即 \(\text{ans}_k=\text{ans}_{k-p0+1}\)。

特殊情况

当我们的 \(l\) 在 \(p_1\) 之外，那么就会出现：

尽管紫色部分是相等的，可我们却不知道马赛克部分是否相等，如果相等就比转移后结果大，如果不相等就是转移后结果，所以我们无从可知，只能暴力。

可是如果如此暴力，复杂度又会退化为 \(O(n^2)\)，所以我们可以考虑优化：

上图中我们已经得知紫色部分相等，只需暴力 深红色 部分即可。所以我们比对从 \(p_1-k\) 开始。

now = max(0,p1-k);      // 因为紫色部分相等，我们选择不遍历这部分，可以省下一些时间，但如果紫色部分不存在，就会出现负下标，在此判断防止负下标的出现
while(now+k <= n && S[now+1] == S[now+k]) now++;
ans[k] = now;
p0 = k;
p1 = k+ans[k]-1;

完整代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
char S[1010];
int ans[1010];
int n;
int p0, p1;
int main() {
	scanf("%s", S+1);
	n = strlen(S+1);
	ans[1] = n;
	int now = 0;
	while(now+2 <= n && S[now+1] == S[now+2]) now++;
	ans[2] = now;
	p0 = 2;
	p1 = 2+ans[2]-1;
	for(int k = 3; k <= n; k++) {
		if(k+ans[k-p0+1]-1 < p1) ans[k] = ans[k-p0+1];
		else {
			now = max(0,p1-k);
			while(now+k <= n && S[now+1] == S[now+k]) now++;
			ans[k] = now;
			p0 = k;
			p1 = k+ans[k]-1;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		printf("%d ", ans[i]);
	}
}

为什么是 k+ans[k-p0+1]-1 < p1 而不是 k+ans[k-p0+1]-1 <= p1

当 \(\text{ans}_{k-p0+1}=0\) 时，会出现 \(p_1=p_0-1\)，就有：

那么如果我们单纯判读 k+ans[k-p0+1]-1<=p1，\(p_1\) 就无法覆盖 \(k\)，从而得出错误结果。

回归原题目

再建一个 \(\text{exans}\)，表示 \(S_{i\cdots n}\) 与 \(T\) 的最长公共前缀长度。

\(\text{exans}\) 的第一位还是要暴力，理由同上：

int now=0;
while(now+1 <= m && S[now+1] == T[now+1]) now++;
exans[1] = now;

还记得这张图吗：

模仿求 \(\text{ans}\) 的过程，只不过 \(p_0,p_1\) 表示 \(\text{exans}\) 已求解部分中覆盖最远的地方，即：

在平移 \(p_0\) 位时，我们对应的是 \(T\)：

此外均相同，故可以直接复制求 \(\text{ans}\) 的代码了：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
char S[1010],T[1010];
int ans[1010],exans[1010];
int n,m;
int p0,p1;
void qAns() {
	ans[1]=m;
	int now=0;
	while(now+2<=m && T[now+1]==T[now+2]) now++;
	ans[2]=now;
	p0=2;
	p1=2+ans[2]-1;
	for(int k=3; k<=m; k++) {
		if(k+ans[k-p0+1]-1<p1) ans[k]=ans[k-p0+1];
		else {
			now=max(0,p1-k);
			while(now+k<=m && T[now+1]==T[now+k]) now++;
			ans[k]=now;
			p0=k;
			p1=k+ans[k]-1;
		}
	}
}
 
void qExans() {
	int now=0;
	while(now+1<=n && now+1<=m && S[now+1]==T[now+1]) now++;
	exans[1]=now;
	p0=1;
	p1=p0+exans[p0]-1;
	for(int k=2; k<=n; k++) {
		if(k+ans[k-p0+1]-1<p1) exans[k]=ans[k-p0+1];
		else {
			now=max(0,p1-k);
			while(now+k<=n && now+1<=m && T[now+1]==S[now+k]) now++;
			exans[k]=now;
			p0=k;
			p1=k+exans[k]-1;
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%s %s",S+1,T+1);
	n=strlen(S+1);
	m=strlen(T+1);
	qAns();
	qExans();
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		printf("%d ",exans[i]);
	}
}

例题

洛谷P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数）

求 \(\text{ans}\) 的权值与 \(\text{exans}\) 的权值。

权值的定义：对于一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，设其权值为 \(\operatorname{xor}_{i=1}^n i \times (a_i + 1)\)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
char S[20000010],T[20000010];
ll ans[20000010],exans[20000010];
ll n,m;
ll p0,p1;
void qAns() {
	ans[1]=m;
	ll now=0;
	while(now+2<=m && T[now+1]==T[now+2]) now++;
	ans[2]=now;
	p0=2;
	p1=2+ans[2]-1;
	for(ll k=3; k<=m; k++) {
		if(k+ans[k-p0+1]-1<p1) ans[k]=ans[k-p0+1];
		else {
			now=max(0LL,p1-k);
			while(now+k<=m && T[now+1]==T[now+k]) now++;
			ans[k]=now;
			p0=k;
			p1=k+ans[k]-1;
		}
	}
}
 
void qExans() {
	ll now=0;
	while(now+1<=n && now+1<=m && S[now+1]==T[now+1]) now++;
	exans[1]=now;
	p0=1;
	p1=p0+exans[p0]-1;
	for(ll k=2; k<=n; k++) {
		if(k+ans[k-p0+1]-1<p1) exans[k]=ans[k-p0+1];
		else {
			now=max(0LL,p1-k);
			while(now+k<=n && now+1<=m && T[now+1]==S[now+k]) now++;
			exans[k]=now;
			p0=k;
			p1=k+exans[k]-1;
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%s %s",S+1,T+1);
	n=strlen(S+1);
	m=strlen(T+1);
	qAns();
	qExans();
	ll z=ans[1]+1,p=exans[1]+1;
	for(ll i=2; i<=m; i++) {
		z=z^((ans[i]+1)*i);
	}
	for(ll i=2; i<=n; i++) {
		p=p^((exans[i]+1)*i);
	}
	printf("%lld\n%lld",z,p);
}