定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”，现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移动到P-position的局面是N-position；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。
注意：对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素；
归纳为3点：
1） terminal position（终态）为P_position. （先手输）
2）N_Position （先手赢）---存在某个移动----->P_Position(当前局势的先手输)
3）P_Position(先手输)-----任何移动----->N_Position(当前局势的先手赢)。
当只有两堆石子且两堆石子数量相等时后手有必胜策略，也就是这是一个P-position。我们可以用定义证明：
（2,2）局面是一个 P_Position.
（2,2） ---可以移动的子局面-->(1,2),(0,2)
(1,2) ----可以移动--->（1,1）---唯一移动--->(1,0)---唯一移动--->(0,0)
N_position<--可以--- P_position < --任意 ------ N_ position <--- 因为（0.0）是P_position
(0,2) ---可以移动-->(0,0)
N_position<---可以--P_position
因此， 由于（2,2）的子局面（1,2），（0,2）都是N_position, 故（2,2）是 P_position。
由归纳法 ， 同理可得出， 当两堆有相同石子 的 堆， 该局面为P_position.(即先手输)。
上面是引子，引出下面的定理：(Bouton's Theorem)：对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。
申明：
根据定义，证明一种判断position 性质方法的正确性，只需证明下面三个命题。
1）这个 判断 一定是将所有的terminal position判断为 P_Position.
2) 根据这个 判断 被判为 N_position的局面 一定 可以移动 到某个 P_Position.
3)根据这个 判断 被判为 P_position 的局面 无法移动 到 某个 P_position.
证明： bouton's Theorem ， 中 的判断是 如果a1^a2^...^an=0 ，则（a1,a2,...,an） 是 P_position
第一个命题： 显然成立。 terminal 只有一个 就是 （0,0,……,0） ， 根据判断 a1^a2^...^an===0， 是P_position.
第二个命题： 如果 对于某个局面（a1,a2,...,an） 是 N_position， 则 a1^a2^...^an != 0, 一定 存在某个 合法的移动，将 ai 改变成ai' 后使得 a1^a2^...^ai'^...^an=0.
不妨设 a1^a2^...^an = k, 则 一定存在某个 ai 它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。 这时令 ai' = ai^k < ai(满足取石头要求) 。
则 移动后的局面 是 （a1,a2, ....ai',...,an）, 有a1^a2^...^ai'^...^an = a1^a2^...^ai^...^an^k = 0, 为 P_position。命题得证。
第三个命题： 对于某个局面（a1,a2,...,an） 是 P_position, 则 a1^a2^...^an = 0。 假设可以通过合法的移动， 将 ai 改变成ai' 后 使得a1^a2^...^ai'^...^an = 0
因为 异或满足 消除律， 则有 ai = ai', 这不满足至少取一个石子，不是合法移动， 故 被判为 P_position 的局面 无法移动到 某个 P_position.
证毕。
