首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]
例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
sg[0]=0，f[]={1,3,4}, //我们可以将 f[] , 从小到大排序
x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
注意：
f[]需要从小到大排序
1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步，SG(x) = x; ， Nim问题
3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算
模板1如下：
// SG打表， 利用动态规划
// f[] 为堆中可取的石子个数
// x为堆中石子的总数， 如果有多个堆， 取堆中最多数为x.
int f[N],sg[N]; void getSG(int x) { sg[0]=0; for(int i=1; i<=x ; i++) // 这个x 是所有要用到的x 的最大值 { set<int>S; // 集合中无重复的元素， 且元素是按从小到大排序 for(int j=0 ; f[j]<= i; j++) // f[]数组 的下标是 从0开始的 S.insert(sg[i-f[j]]); int g=0; while(S.count(g) != 0) g++; sg[i] = g; } }
模板2如下：（dfs）
sg[1] =mex{sg[0]} = mex{0} sg[1] =1
sg[2] = mex{sg[1]} = mex{1} sg[2] = 0
sg[3] = mex{sg[2], sg[0]} = mex{0, 0} = 1
sg[4] = mex{sg[3], sg[1], sg[0]} = mex{1, 1, 0} sg[4] = 2
sg[5] = mex{sg[4], sg[2], sg[1]} = mex{2, 0, 1} sg[5] = 3
代码如下：
//注意 f数组要按从小到大排序
//SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合f的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组
int f[N_f],vis[N_f]; int sg[N_x],n; int SG_dfs(int x) { int i; if(sg[x]!=-1) return sg[x]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(i=0;i<n;i++) // n是集合f[]的大小 { if(x>=f[i]) { SG_dfs(x-f[i]); vis[sg[x-f[i]]]=1; } } int e; for(i=0;;i++) if(!vis[i]) { e=i; break; } return sg[x]=e; }
hdu 1848
三堆石子， 每堆只能去 fabonacci 数列。 直接对 三堆石子的总数 求 sg , 然后异或 ，即 sg[m]^sg[n]^sg[p] !=0. 。first 赢。
代码如下：
#include<iostream> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<set> #define N 1010 using namespace std; int f[17]; int sg[1005]; // F[16] = 1597,故Fibonacci 打表只需要达到16 void Fibo_init() { f[1] =1; f[2]= 2; for(int i=3;i<=16; i++) f[i] = f[i-1] +f[i -2]; } // SG函数打表 void init_SG(int x) { sg[0] =0 ; for(int i=1; i<=x ; i++) { set<int>S; for(int j=1; f[j]<=i ; j++) //f[]下标从1开始 S.insert(sg[i-f[j]]); int g=0; while(S.count(g)!= 0) g++; sg[i]= g; } } int main(){ Fibo_init(); init_SG(1000); int n,m,p,x; while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)!=EOF) { if(m==0 && n==0 && p==0) break; x= sg[m]^sg[n]^sg[p]; if(x) puts("Fibo"); else puts("Nacci"); } return 0; }
到此，我们需要更加深刻的理解多堆，表示多个游戏。是否具有像积性函数 这样的性质？
假设有N堆， 每堆数为x1,x2,...,xn,从中按照一定的数量规则f[]取石子。
可以转换为， N 个棋子， 每个棋子为xi, 作为有向无环图的顶点， 分别计算 sg[xi].
我们有个结论： 即当多个棋子的有向图游戏的局面是first赢， 当且仅当 所有棋子所在位置的sg函数值 异或 为 0.
所以我们可以定义有向图游戏的和（sum of Graph Games）： 设G1，G2,、、、Gn 是n 个有向图游戏， 定义游戏G 是 G1,G2,..., Gn 的和， 游戏G 的移动规则为， 任选一个子游戏 Gi 并移动上面的棋子. Sprague- Grundy Theorem :就是： sg[G] = sg[G1] ^sg[G2] ^...^sg[Gn]. 也就是说， 游戏的和 的SG函数值 是它的 所有子游戏 的sg 函数值的 异或。
可以参考：http://www.docin.com/p-557540496.html
hdu 1847 , 一堆石子， 可以取的数组为 2的幂次（10次就可以了 ， 2^10=1024>1000）, 直接求sg[x]，如果sg[x] !=0 first 赢
Good Luck in CET-4 Everybody!
题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847
代码如下：
#include<iostream> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<set> #define Inf 0x7fffffff // 0x 是数字0,而不是字母o #define N 1010 using namespace std; int f[11]; int sg[1005]; // SG函数打表 void init_SG(int x) { sg[0] =0 ; for(int i=1; i<=x ; i++) { set<int>S; for(int j=0; f[j]<=i ; j++) //f[]下标从1开始 S.insert(sg[i-f[j]]); int g=0; while(S.count(g)!= 0) g++; sg[i]= g; } } int main(){ int x; for(int i=0 ; i<=10; i++) f[i]=pow(2.0,(double)i); init_SG(1000); while(cin>>x) { if(sg[x]) puts("Kiki"); else puts("Cici"); } return 0; }
hdu 1849 Nim, m个棋子，m堆， 每堆可以取任意棋子， 直到为空。 ， 直接对输入的堆的个数（相当于位移长度）取 异或 即可。
题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1849
代码如下：
int main(){ int m,temp,x; while(cin>>m&&m) { x=0; for(int i=0;i<m ;i++) { cin>>temp; x^=temp; } if(x) puts("Rabbit Win!"); else puts("Grass Win!"); } return 0; }
hdu 1850 Nim博弈， 如果异或值x不为0， 表示first赢， first 可以走的方案数， 为 使异或值 x为0的temp[i] 数的个数， 即（temp[i] > (temp^x)）
题目来源：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850
代码如下：
#include<iostream> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<set> #define Inf 0x7fffffff // 0x 是数字0,而不是字母o #define N 105 using namespace std; int main(){ int m,temp[105],x,ans; while(cin>>m&&m) { x=0,ans=0; for(int i=0;i<m ;i++) { cin>>temp[i]; x^=temp[i]; } for(int i=0; i<m; i++) if(temp[i]> (temp[i]^x)) ans++; cout<<ans<<endl; } return 0; }
hdu 1851 题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1851
共有n堆， 每堆石子数为mi, 最多可取Li , 则 sg[mi] = mi %(Li+1), 然后对每堆 取异或x，x不为0， first赢。
代码如下：
#include<iostream> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<set> #define Inf 0x7fffffff // 0x 是数字0,而不是字母o #define N 15 using namespace std; int sg[N]; int main(){ int t,n,m,l; cin>>t; while(t--) { cin>>n; int x=0; for(int i=0;i<n;i++) { cin>>m>>l; x^=m%(l+1); } if(x) puts("No"); else puts("Yes"); } return 0; }
