因数分解算法、周期查找算法(简化)

质因数分解的复杂是公认,这也是我们将他作为 RSA (一种广泛使用的公钥加密算法)的数学难题的原因。

\(N=P*Q\) (P、Q是质数),n = length of N in bit

对于这么一个N,我们因数分解得到结果的时间复杂度是 \(2^n\) ,因为这个复杂,所以也有一堆的数学家在努力降低这个的时间复杂度,目前的优化结果的时间复杂度是 \(2^{ \sqrt[3]{n}}\)

那么量子是否能够有更好的结果呢?

在讲因数分解之前,需要先提周期查找算法。

周期查找 Period Finding

周期查找的基础是 量子傅里叶变换

**Input : **

\(f:(0,1,2,…,M-1) \rightarrow S\) for all x \(f(x)=f(x+r)\)

challenge :

find r

condition:

  1. f is 1-1 on period 在周期内,f是一个一一对应的函数

2)\(M>>r\) \(M>2r^2\)

3)M能够被r整除 (这是一个简化条件,稍后会有不简化的怎么办)

这个电路,我的输入是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |0\rangle$

经过f(x)后,我的量子叠加态是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |f(x)\rangle$

此时,如果测量了下面的 f(x),那么上面的量子态会坍缩,会变成只有f(x)等于测量结果的x,显而易见,这是一个周期函数。

量子傅里叶变换 中,我们提到过傅里叶变换的第一个特点,当输入shift了,结果是不会变的。

如果我们输入的量子态的概率幅为 \(\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,…, \alpha_{N-1}\) ,输出的量子态的概率幅为 \(\beta_0 , \beta_1, \beta_2, \beta_3,…, \beta_{N-1}\)

则,当我们将输入的概率幅变为:\(\alpha_{N-},\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_{N-2}\) 输出的概率不变。(这里写得是概率,不是概率幅,概率是概率幅的平方)

也就是说,我测量的随机结果可能是这个周期当中的i个值,我也能shift成在第一个位置。

即,把 [0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ……] (每个周期五个,第三个为1,其余为0) 变成 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 …… ] (每个周期五个,第三个为1,其余为0) 。

他们经过傅里叶变换后的结果是一样的。

其实到这里,我们发现,我们测不测量f(x)其实都没有关系,因为在这前面所有测量结果对应的x,都是同一个周期的周期函数,因为shift的原因,他们傅里叶变换后的结果都是一样的。

那么,这么做的意义是?

量子傅里叶变换还有第二个特点:傅里叶变换可以改变周期函数的周期。

他可以把周期为r的函数,变成周期为 \(\frac{M}{r}\) 的函数。

对最后的这个函数测量,得到的结果是 \(\frac{M}{r}\) 的倍数,多测量几次就知道了 \(\frac{M}{r}\) 的值。知道了这个值,很容易反推出r的值,周期查找完成。

如果没有简化条件呢?

即,M不是r的倍数。

那,假设测量结果为L,则找到一个最接近 \(\frac{L}{M}\) 的分数 \(\frac{t}{r}\) ,唯一的要求是 \(M>2r^2\) 最后通过一种叫做continued fraction的方法找到r。

因数分解

一个例子:

问题:找N=21的因数。

解法:

step 1:

\(2^0=1 (\mod 21)\) 除以21后余数为1

\(2^1=2 (\mod 21)\)

\(2^2=4 (\mod 21)\)

\(2^3=8 (\mod 21)\)

\(2^4=16 (\mod 21)\)

\(2^5=11 (\mod 21)\)

\(2^6=1 (\mod 21)\)

step 2:

\(2^6-2^0=0 (\mod 21)\)

\(2^6-1=0 (\mod 21)\)

\((2^3-1)(2^3+1)=0 (\mod 21)\)

到这一步,我们发现了什么?

\((2^3-1)(2^3+1)\)是21的倍数,那么他的两个因数 \((2^3-1)\)\((2^3+1)\) 一定和21有公约数。

gcd(21,7)=7

gcd(21,9)=3

gcd求最大公约数大家还熟悉吗?

比如说,我们相找21和15的最大公约数。

\(21=15*1+6\)

\(15=6*2+3\)

\(6=3*2+0\)

最大公约数就是最后一个不为0的余数,这里就是3。求最大公约数的算法很快,大概是在 \(log N\) 的级别。

那么现在的问题其实就是step1 ,找到函数 \(f(a)=x^a \mod N\) 的周期,在上述例子中 \(2^0\)\(2^6\) 取余相等,这就是一个周期,周期为6.

现在因数分解问题就全部转化为了周期查找问题。

而周期查找问题恰好,有量子加速的方法,前文已经提过了,不再累述,我们知道周期查找有一个前提条件是 \(M> 2r^2\) ,在这个例子中,我们不知道r是多少,这个是我们要求的,但是我们知道,r<N,所以直接让 \(M > 2N^2\) 就好。

变成电路图就是:

得到周期,然后经过 step 2 就是我们想要的因数分解。

参考资料:
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 10

posted @ 2019-08-02 17:49  夏天喵  阅读(3652)  评论(1编辑  收藏  举报