sol

题意：

将正整数\(n\) 分解为\(m\) 个正整数相加（注意是有序的）。定义一种拆分的价值为拆分出的所有正整数的最大值。求所有拆分方案的价值之和。

题解：

我们考虑每个\(k\) 作为最大值，容斥一下，可以得到答案为

\[\sum_{k=1}^nk[x^n]((x\frac{1-x^k}{1-x})^m-(x\frac{1-x^{k-1}}{1-x})^m) \]

方便起见，我们令\(f_k(x)=(x\dfrac{1-x^k}{1-x})^m\) ，那么原式变为

\[\sum_{k=1}^nk[x^n](f_k(x)-f_{k-1}(x))\\ =[x^n](nf_n(x)-\sum_{i=1}^{n-1}f_i(x)) \]

现在我们考虑\(f_k(x)\) 的\(x^n\) 项的系数，有

\[\begin{aligned} \ [x^n]f_k(x)\\ &=[x^n]\frac{x^m(1-x^k)^m}{(1-x)^m}\\ &=[x^{n-m}](\sum_t\binom mt(-1)^tx^{kt})(\sum_t\binom{t+m-1}{m-1}x^t)\\ &=\sum_{i=0}^{n-m}[k\mid i](-1)^{\frac ik}\binom m{\frac ik}\binom{n-i-1}{m-1}\\ &=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n-m}k\rfloor}(-1)^i\binom mi\binom{n-ki-1}{m-1} \end{aligned} \]

注意到这是调和级数的形式，因此总复杂度为\(\mathcal O(n\ln n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
int n,m,fac[N],fiv[N];
inline int qpow(int x,int y)
{
	int ans=1;
	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(y&1)ans=1ll*ans*x%mod;
	return ans;
}
inline void pre()
{
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	fiv[n]=qpow(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;~i;--i)fiv[i]=1ll*fiv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);pre();
	ll ans=1ll*n*fac[n-1]%mod*fiv[n-m]%mod*fiv[m-1]%mod;
	for(int k=1;k<n;++k)
	{
		int up=min(m,(n-m)/k);
		for(int i=0,t=n-1;i<=up;++i,t-=k)
		{
			int tmp=1ll*m*fiv[i]%mod*fiv[m-i]%mod*fac[t]%mod*fiv[t-m+1]%mod;
			(i&1)?ans+=tmp:ans-=tmp;
		}
		ans%=mod;if(ans<0)ans+=mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}