有标号 DAG 计数

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不考虑弱联通的限制，令\(g_i\) 表示\(i\) 个带标号点的\(DAG\) 个数。

\(DAG\) 的一大特点是必然存在入度为\(0\) 的点。

令\(c_{i,j}\) 表示\(i\) 个点恰好有\(j\) 个入度为\(0\) 的\(DAG\) 个数，那么有

\[g_i=\sum_{j=1}^ic_{i,j} \]

直接计算\(c\) 十分困难，考虑二项式反演，令\(h_{i,j}\) 表示\(i\) 个点钦定了\(j\) 个入度为\(0\) 的点剩下的随便的\(DAG\) 计数，那么显然有

\[h_{i,j}=\sum_{k=j}^i\binom kjc_{i,k} \]

反演一下可得

\[c_{i,j}=\sum_{k=j}^i\binom kj(-1)^{k-j}h_{i,k} \]

而\(h\) 的计算是较为容易的，我们有

\[h_{i,j}=\binom ij2^{j(i-j)}g_{i-j} \]

于是就得到

\[g_i=\sum_{j=1}^i\sum_{k=j}^i\binom kj(-1)^{k-j}\binom ik2^{k(i-k)}g_{i-k}\\ =\sum_{k=1}^i\binom ik2^{k(i-k)}g_{i-k}\sum_{j=1}^k\binom kj(-1)^{k-j}\\ =\sum_{k=1}^i\binom ik2^{k(i-k)}g_{i-k}(0-(-1)^k)\\ =\sum_{k=1}^i\binom ik(-1)^{k+1}2^{k(i-k)}g_{i-k}\\ \Rightarrow \frac {g_i}{i!}=\sum_{k=1}^i\frac{(-1)^{k+1}}{k!}2^{k(i-k)}\frac {g_{i-k}}{(i-k)!} \]

这里有一个神仙技巧

\[k(i-k)=\binom i2-\binom k2-\binom{i-k}2 \]

组合意义的话就是有两个集合，一个集合中有\(k\) 个元素，另一个有\(i-k\) 个元素，从中各选取一个的方案数等于总方案数减去不合法的。

于是就有

\[\frac {g_i}{2^{\binom i2}i!}=\sum_{k=1}^i\frac {(-1)^{k+1}}{2^{\binom k2}k!}\cdot\frac {g_{i-k}}{2^{\binom {i-k}2}(i-k)!}(i>0) \]

令

\[F(x)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac {(-1)^{i+1}}{2^{\binom i2}i!}x^i\\ G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac {g_i}{2^{\binom i2}i!}x^i \]

于是

\[G(x)=F(x)G(x)+1 \]

\(+1\) 是因为有\(g_0=1\)
解得

\[G(x)=\frac 1{1-F(x)} \]

求出\(g_i\) 之后，其\(EGF\) 的\(\ln\) 就是我们要求的答案了。