第一类斯特林数
定义
\(\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]\) 表示将\(n\)个带标号的元素放入\(m\)个不带标号的环的方案数
递推式
\[\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right]+(n-1)\left[\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right]
\]
组合意义
考虑最后一个元素：要么重新开一个环，要么加入到已经存在的环当中（即选择一个元素加入到它后面）
边界条件
\[\left[\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right]=[n=0]
\]
还有一个
\[\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]=\sum_{i=1}^n\left[\begin{matrix}n-i\\m-1\end{matrix}\right](i-1)!\binom{n-1}{i-1}
\]
即考虑\(n\) 所在的环，枚举其大小\(i\) ,\((i-1)!\) 代表环的方案数，\(\binom{n-1}{i-1}\) 代表从\(n-1\) 个元素中选出\(i-1\) 个来和\(n\) 在一起（注意不是考虑最后一个环，因为这里的环是不带标号的）
性质
\[\sum_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]=n!
\]
即考虑一个排列可以拆成若干个循环，每个循环都是一个圆排列。
第一类斯特林数求行
第一类斯特林数求列
考虑对于一个大小为\(i\) 的环排列有\((i-1)!\) 中方案，则环排列的\(EGF\)为
\[\sum_{i=1}^{+\infty}(i-1)!\frac {x^i}{i!}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac {x^i}i=-\ln(1-x)
\]
而\(\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]\) 含有\(i\) 个环，那么它的\(EGF\) 就是\(\frac{(-\ln(1-x))^i}{i!}\) ,于是多项式快速幂即可。
第二类斯特林数
定义
\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\) 表示将\(n\) 个带标号的元素放入\(m\) 个不带标号的集合的方案数
递推式
\[\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right\}+m\left\{\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right\}
\]
组合意义
考虑最后一个元素：要么自成一个集合，要么放入之前已有的\(m\) 个集合中
边界条件
\[\left\{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right\}=[n=0]
\]
还有一个
\[\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\sum_{i=1}^n\left\{\begin{matrix}n-i\\m-1\end{matrix}\right\}\binom{n-1}{i-1}
\]
即考虑\(n\) 所在的集合，枚举其大小\(i\) ，\(\binom{n-1}{i-1}\) 代表从\(n-1\) 个元素中选出\(i-1\) 个来和\(n\) 在一起
通项公式
\[\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\frac 1{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\binom mk k^n
\]
推导：
我们首先有
\[m^n=\sum_{i=0}^m\binom mi\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}i!
\]
左边代表将\(n\) 个带标号元素放入\(m\) 个带标号集合的方案数，其中可能存在空集
右边先枚举\(i\) 代表非空集个数，而后\(\binom mi\) 代表从\(m\) 个集合中选出\(i\) 个作为非空集，\(\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}\) 代表将\(n\) 个带标号元素放入\(i\) 个不带标号的集合，\(i!\) 代表将这\(i\) 个集合带上标号
二项式反演可得
\[\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}m!=\sum_{i=0}^m\binom mi(-1)^{m-i}i^n\\
\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\frac 1{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\binom mk k^n
\]
第二类斯特林数求行就直接按照上式卷积即可
第二类斯特林数求列
考虑一个集合的\(EGF\) 为
\[\sum_{i=1}^{+\infty}1\frac{x^i}{i!}=e^x-1
\]
那么\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\) 的\(EGF\) 就是\(\frac{(e^x-1)^m}{m!}\),快速幂即可。
次幂,下降幂和上升幂
\[x^n=\sum_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}x^{\underline i}\\
x^{\underline n}=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]x^i\\
x^{\overline n}=\sum_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]x^i\\
x^n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}x^{\overline i}
\]
恒等式
\[\sum_k\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}\right\}(-1)^{n-k}=[n=m]\\
\sum_k\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}\left[\begin{matrix}k\\m\end{matrix}\right](-1)^{n-k}=[n=m]\\
\]
斯特林反演
\[f(n)=\sum_k\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}g(k)\Leftrightarrow g(n)=\sum_k(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]f(k)\\
f(n)=\sum_k\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]g(k)\Leftrightarrow g(n)=\sum_k(-1)^{n-k}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}f(k)\\
\]
可以和以上恒等式互推
更多恒等式
\[\left[\begin{matrix}{n+1}\\m+1\end{matrix}\right]=\sum_{i=m}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]\binom im
\]
将前\(n\) 个数划分为\(i\) 个环排列，而后从中选出\(m\) 个保留，将剩下的\(m-k\) 个和\(n+1\) 一起组成一个环排列。（注意这里有一种一一映射的关系）
\[\left\{\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}\right\}=\sum_{i=m}^n\binom ni\left\{\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right\}
\]
考虑\(n+1\) 所在的集合有\(n+1-i\) 个元素，剩下的\(i\) 个元素形成\(m\) 个集合。
\[\left[\begin{matrix}{n+1}\\m+1\end{matrix}\right]=\sum_{i=m}^n\left[\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right]n^{\underline{n-i}}
\]
证明和上面类似。
\[\left\{\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}\right\}=\sum_{i=m}^n\left\{\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right\}(m+1)^{n-i}
\]
将元素按照编号从小到大的顺序依次考虑。枚举\(i\) 表示\(i+1\) 这个元素是第一个属于\(n+1\) 号元素所在的集合，剩下的\(n-i\) 个数任意选择集合。
