概率基本概念

1.随机事件与概率

自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象与随机现象

• 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象

• 随机现象：在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试验之前无法预知其确切的结果，也无法控制

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一
门数学学科

2.随机事件及其运算

（1）随机试验

• 随机试验 具有以下特点的试验称为随机试验：

• 1.试验可以在相同条件下重复进行

• 2.试验可能出现的结果有多个，试验之前知道所有可能的结果

• 3.试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制)

通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)。

例如：
E1 ：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况
E2 ：掷一颗骰子，观察出现的点数

（2）基本事件ω(也称样本点):

一次试验可能出现的每一个直接的结果。也就是随机试验不能够再分解的结果。

如：
E1有两个基本事件：E1 ={出现正面}， E2={出现反面}
E2有六个基本事件： Ei ={出现 i 点}，i=1,2,3,4,5,6

（3）样本空间Ω:全体基本事件的集合。

如：E2的样本空间为 Ω=

（4）随机事件:

试验的每一个可能结果。用大写字母A,B,C 等表示
随机事件也就是样本空间的子集，即若干基本事件组成的集合。

如：在E2中，“出现偶数点”的事件可表示为A=

（5）事件发生:

当事件A所包含的基本事件有一个出现，就说事件发生了，否则就说事件A未发生

（6）必然事件:一定发生的事件，也就是样本空间Ω

（7）不可能事件:一定不发生的事件，记为Φ

（8）事件包含:

如果事件A发生必然导致事件B发生．则称事件B包含事件A，记作 A ⊂ B 或 B ⊃ A

（9）事件的和:

事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件称为事件A与事件B的和或并，记为 A U B 或 A + B

（10）事件的积:

事件A与事件B同时发生，这样的事件称为事件A与事件B的积或交，记为 A ∩ B 或 AB

事件的和与积可以推广到多个事件

（11）事件的差:

事件A 发生而事件B不发生，这样的事件称为事件A与事件B的差，记为A-B。

如A={2,4,6}，B={2,3}，则A-B={4,6}。

A-B就是A的基本事件中去掉含在B中的，余下的基本事件组成的事件。

（12）互斥事件:

若事件A与事件B不能同时发生(即AB=Φ)，则称事件A与事件B为互不相容或互斥。若A与B互不相容，就是A与B不含有公共的基本事件

（13）对立事件(互逆):

若事件A与事件B有且仅有一个发生，且A U B=Ω，A ∩B =Φ，称事件A与事件B互为对立事件或互逆事件。

3.样本空间、 事件和概率

• 样本空间 S 是一个集合，它的元素称为基本事件。

• 样本空间的一个子集被称为事件，根据定义，所有基本事件互斥。

• 概率：如果有一种事件到实数的映射 P{}，满足：

  • （1） 对任何事件 A， P{A}≥0

  • （2） P{S}=1

  • （3） 对两个互斥事件， P{A∪B}=P{A}+P

  则可称 \(P{A}\)为事件 \(A\) 的概率。上述三条称为概率公理。

4.条件概率

设\(E\)为一试验，\(A\)和\(B\)为\(E\)中两事件，且 \(P(A)>0\)，则称\(P(AB)/P(A)\)为事件\(A\)发生的条件下事件\(B\)发生的条件概率，记作\(P(B|A)\)，即\(P(B|A)= P(AB)/P(A)\)

5.全概率公式

• 定义

  • 设试验\(E\)的样本空间为\(Ω\)，事件\(A1,A2,……,An\)若满足：

    • 1、两两互不相容

    • 2、\(\sum Ai\)= Ω

    • 3、\(P(Ai)\)>0

  • 则称\(A1,A2,……,An\)为 \(Ω\) 的一个划分(分割)

• 定理

  • 设 \(Ω\)为试验 \(E\) 的样本空间，\(A\) 为 \(E\) 的一个随机事件，\(B1,B2,……,Bn\) 为\(Ω\)的一个划分，且有 \(P(Bi)>0\)，则有
    　　　　　　　　\(P(A)\)=\(\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}\)
    .
  • 证明：
    　　　　　\(P(A)\)=\(\sum_{i=1}^{n}{P(AB~i~)}=\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}\)

• 推论

  • 设\(Ω\)为\(E\)的样本空间，\(A\)为\(E\)的事件，\(B1,B2,……,Bn\)互不
    相容，且\(P(Bi)>0\)，\(\sum_{i=1}^{n}{B~i~ ⊃A}\) ，则
    　　　　　　　\(P(A)\)=\(\sum_{i=1 }^{n}{P(B~i~)P(A |B~i~)}\)