第四章 1. 向量空间和线性映射
下面我们讨论一种重要的代数系--向量空间。我们将数域$K$限定为实数$R$或复数$C$。
定义 集合$V$称为域$K$上的向量空间，如果它满足下列条件:
(i) 集合$V$中定义了加法$+$运算，而且$V$在此加法运算下构成Abel群，此时零元记为$0$，$v\in V$的负元记为$-v$.
(ii) 对于$\forall a\in K,\,v\in V$，有数乘运算$av\in V$，对任意的$v_1,v_2,v\in V$以及$a,b\in K$，满足
$$a(v_1+v_2)=av_1+av_2,\,(a+b)v=av+bv,\,(ab)v=a(bv),\,1\circ v=v$$.
向量空间也称线性空间或线性流形。向量空间中的元素称为向量，向量空间中的加法和数乘运算称为线性运算。
在向量空间的基础上，我们可以定义另一个重要的代数系--代数。
定义 设$A$是域$K$上的向量空间，若在$A$中再定义代数乘法$\circ$，使$(A,+,\circ )$成为环，并且对任意$a\in K,\,u,v\in A$，有
$$a(u\circ v)=(au)\circ v=u\circ (av)$$
则称$A$为域K上的代数，简称(结合)代数。
如果乘法$\circ$不是可结合的，则称$A$是一个非结合代数。
一、 向量空间中的一些基础理论
向量空间就是定义了线性运算的代数系，其中线性运算与线性相关和线性无关联系紧密。
定义 在域$K$上向量空间$V$中，称向量$v_i\, (i=1,2,3,...,s)$是线性无关的，如果有
$$\sum_{i=1}^s a_iv_i=0\Rightarrow a_i=0,\, i=1,2,3,...,s$$.
否则称它们是线性相关的。$V$中线性无关向量的最大个数称为$V$的维数，记为$dim V$。
$n$维空间$V$中的$n$个线性无关的向量$v_1,v_2,...,v_n$构成该空间的一个基。任一向量均可用这组基唯一地线性表示。
定义 在域$K$上的向量空间$V$的子集$W(\neq)\emptyset$，如果在$V$的线性运算下封闭，即
(i) $W+W=\{w_1+w_2|w_1,w_2\in W\}\subset W$.
(ii) 对$\forall a\in K$，有$aW=\{aw|w\in W\}\subset W$.
则称$W$是$V$的子空间。
定义 设$W_1,W_2,...,W_n$是$V$的子空间，则$W=W_1+W_2+...+W_n$也是$V$的子空间。$\forall w\in W$，如果线性表示
$w=w_1+w_2+...+w_n,\,w_i\inW_i$是唯一的，则称$W$是$W_1,W_2,...,W_n$的直和，记作$W=W_1\oplus W_2\oplus...\oplus W_n$,
把$W_i$称为$W$的直和分解中的直和因子。
定义 由向量空间$U$和$V$，构造$W=\{w=(u,v)|u\in U, v\in V\}$，以$(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2),\,k(u,v)=ku+kv,\,k\in K$ 定义加法和数乘。
$W$是一个向量空间，称为$U$和$V$的直和空间，记作$W=U\oplus V$。
二、 线性映射
向量空间中间的映射中线性映射是我们感兴趣的。
定义 自$V$到$U$的映射$f$，如果对$v,v_1,v_2\in V$及$a\in K$满足
(i) $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2),\, f(v_1),f(v_2)\in U$.
(ii) $f(av)=af(v),\,f(v)\in U$
则称$f$是自$V$到$U$的线性映射。$V$到$U$的线性映射全体记为$gl(V,U)$，当$V=U$时，则称$f$是$V$的线性变换。
定义 设$f$是自$V$到$U$的线性映射。记$Im(f)=\{f(v)|v\in V\}\subset U$，以及$Ker(f)=f^{-1}(0)\subset V$. 把$Im(f)$称为$f$的象，$Ker(f)$称为$f$的核。
定理4.1 (i) $f$是一一映射的充要条件是$Ker(f)=\{0\}$，这里$0$是$V$的零元。
(ii) $Im(f)$是$U$的子空间，$Ker(f)$是$V$的子空间，它们的维数满足
$$dim V=dim(Im(f))+dim(Ker(f))$$.
证明： (i) 必要性：首先，$V$的零元映射到$U$的零元：$a f(0)=f(a\times 0)=f(0)\,\Rightarrow f(0)=0\in U$. 又一一映射，核中只有0这唯一元素。
充分性： 如果$f$不是一一映射，那么必然存在$v_1\neq v_2$，使得$f(v_1)=f(v_2)$，那么$f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2)=0\in U$，故$v_1-v_2\in Ker(f)$，与前提矛盾，故$f$必然是一一映射。
(ii) 必要性：
