第二章 1.群与子群
群是一种很特殊且充满对称性的代数结构，这里我们先不关注这些对称性，首先抽象地引入群的定义。
一、 群
定义 在非空集合$G=\{ a,b,c,...\}$中规定一种元素间的代数运算，称为“乘法”。设$a,b\in G$，$a$与$b$相乘记作$a\circ b$，如果乘法使集合$G$满足以下四条公理，称$G$是一个群：
(i) 封闭性 $a,b\in G\quad\Rightarrow a\circ b\in G$.
(ii) 结合性 $a,b,c\in G\quad\Rightarrow(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)$.
(iii) 单位元 $\exists e\in G\quad\Rightarrow \forall a\in G,\, a\circ e=a$.
(iV) 逆元 $\forall a\in G\quad\Rightarrow \exists b\in G,\, a\circ b=e$.
特别地，如果对群$G$中任意$a,b$都有$a\circ b=b\circ a$,则群$G$称为Abel群或可交换群。
$G$中元素的个数称为群$G$的阶，用$|G|$表示，依次可将群分为有限群和无限群。
注：在不引起歧义的情况下，常常将$a\circ b$简写成$ab$.
定理2.1（重新排列定理） 对于群$G={e,a_2,a_3,...,a_n}$，在序列$ea_k,a_2a_k,...,a_na_k$，或$a_ke,a_ka_2,...,a_ka_n$中，每个元素$a_i$出现一次，而且仅出现一次。
证明：对群而言，有消去律的存在，即对$a,b,c,d\in G$，如果有$ac=bc=d$，那么$a=b$. 因为逆元的存在，$a=b=dc^{-1}$。
那么，对$a_i,a_j,a_k\in G$, $i\neq j$，即$a_i\neq a_j$。假设$a_ia_k=a_ja_k$，那么由消去律，$a_i=a_j$。矛盾，故假设不成立。因此
$$a_i\neq a_j\quad\Rightarrow a_ia_k\neq a_ja_k$$。
因此在序列中各元素均不重复，又元素的个数为$|G|$，每个元素$a_i$恰好仅出现一次。
二、子群
群$G$可以有子结构，称为子群，类似于子集之于集合，子空间之于空间。
定义 群$G$的非空子集合$H$称为$G$的子群，如果在$G$所定义的乘法运算下，$H$亦构成一个群。除了$\{e\}$和$G$以外的子群称为真子群。
物理中一个典型例子是，$SO(2)$是$SO(3)$的Abel子群。
定理2.2 $H\subset G$, $H$是子群的充要条件是（以下两条中任一）：
(i) $a,b\in H\quad\Rightarrow ab^{-1}\in H$.
(ii) $a,b\in H\quad\Rightarrow a^{-1},b^{-1}\in H, ab\in H$.
特别地，若$H$是有限子集，充要条件是 $a,b\in H\quad\Rightarrow ab\in H$.
证明： 对(i)，因为子群的封闭性，必要性显然。下面重点讨论充分性。
因为$H$中所有元素均属于$G$, 故结合性存在。
令$b=a$，则$e=aa^{-1}\in H$，故单位元存在。
令$a=e$，则$b^{-1}\in H$，故逆元存在。
则对$a,b\in H$, $b^{-1}\in H$，有$ab\in H$，故封闭性存在。
因此，四条公理均满足，$H$是子群。
对(ii)，必要性显然。下面看充分性。
封闭性，逆元，单位元显然。又因为$H$中所有元素均属于$G$, 故结合性存在。
因此，四条公理均满足，$H$是子群。
下面证明有限子集的情形。必要性显然，下面看充分性，结合性和封闭性显然。
记$H$的阶数为$k$，$\forall a\in H$，
由封闭性，$S=\{a^1,a^2,...a^{k+1},...\}\subseteq H$.
由抽屉原理，必定存在一组$(i,j)$使得，$a^{i}=a^{j},\quad(1\leq i<j\leq k+1)$。
由消去律，$a^{j-i}=e$，故单位元存在。
$a^{-1}=a^{j-i-1}$，故逆元也存在。因此，四条公理均满足，$H$是子群。
定理2.3 $H_1$和$H_2$是$G$的两个子群，$H_3=H_1\cap H_2$仍是子群。
证明： 由定理2.2的(i)，$a,b\in H_3\quad\Rightarrow a,b,ab^{-1}\in H_1,\, a,b,ab^{-1}\in H_2\quad\Rightarrow ab^{-1}\in H_3$.
