最长递增子序列和网易去除最少使从左向右递增又递减问题

（1）最长递增子序列问题

有两种方法：（1）动态规划方法（2）类似二分查找的方法O（nlogn）

动态规划方法：

以i结尾的序列的最长递增子序列和其[0, i - 1]“前缀”的最长递增子序列有关，设LIS[i]保存以i结尾的最长递增子序列的长度：
    若i = 0，则LIS[i] = 1；
    若i > 0，则LIS[i]的值和其[0, i - 1]前缀的最长递增子序列长度有关，用j遍历[0, i - 1]得到其最长递增子序列为LIS[j]，对每一个LIS[j]，如果序列array[j]  < array[i]并且LIS[j] + 1 > LIS[i]，则LIS[i]的值变成LIS[j] + 1。即：
    LIS[i] = max{1, LIS[j] + 1}，其中array[i] > array[j] 且 j = [0, i - 1]。

代码如下：

。。。。。晚上补充上

（2）采用类似二分查找方法

假设存在一个序列d[1...9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出它的LIS长度是5。
    下面一步一步试着找到它。
    我们定义一个序列B，然后令i = 1 to 9逐个考察这个序列。
    此外，我们用一个变量len来记录现在的最长算到多少。
    首先，把d[1]有序的放到B中，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2，这时len = 1；
    然后，把d[2]有序的放到B中，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1] = 2已经没用了，很容易理解吧，这时len = 1；
    接着，d[3] = 5，d[3] > B[1]，所以令B[1 + 1] = B[2] = d[3] = 5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧，这时B[1...2] = 1, 5，len = 2；
    再来，d[4] = 3，它正好在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时B[1...2] = 1,3，len = 2；
    继续，d[5] = 6，它在3的后面，因为B[2] = 3，而6在3后面，于是很容易推知B[3] = 6，这时B[1...3] = 1,3,6，还是很容易理解吧？这时len = 3；
    第6个，d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1...3] = 1,3,4，这时len = 3；
    第7个，d[7] = 8，它很大，比4大，于是B[4] = 8，这时len = 4；
    第8个，d[8] = 9，得到B[5] = 9，len继续增大，这时len = 5；
    最后一个，d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] = 7, B[1...5] = 1,3,4,7,9，len = 5。
    于是我们知道了LIS的长度为5。
    注意，注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储了对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个 d[9] = 7更新进去对于这个数组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字8和9，那么就可以把8更新到d[5]，9更新到d[6]，得到LIS的长度为6。
    然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且进行替换而不需要移动——也就是说，可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logn)，于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)了。

代码如下：

 

int findlis(int *A,int n,int *lefttoright)     //从左向右最长递增子序列  
{
    if(A==NULL||n<0)
        return -1;
    int *lis=new int[n];
    //int *lefttoright=new int[n];
    lefttoright[0]=1;                    //lefttoright[i]保存从左到右，以i为终点的最长递增子序列长度，注意已经是正常的长度了，不是小一了
    int max=0;                           //max是lis[]的最大下标如lis[]={1,2,4}时,max=2;
    lis[0]=A[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int left=0;
        int right=max;
        while(left<=right)            //这个二分查找就是最终left落到指定位置例如lis[]={1,2,4},若A[i]=5，left=3（从0开始），则更新为lis[]={1,2,4,5}；lis[]={1,2,4},若A[i]=3，left=2,则更新为lis[]={1,2,3}；
        {
            int mid=(left+right)/2;
            if(A[i]>lis[mid])
                left=mid+1;
            else
                right=mid-1;
        }
        lis[left]=A[i];
        lefttoright[i]=left+1;    //lefttoright[i]等于left加一，同返回时是max+1同样道理
        if(left>max)          //如果left>max，则让max=left
            max++;
    }
    delete lis;
    return max+1;             //注意，必须返回max+1，才是最终结果max是最长递增子序列长度减一
}

 下面就开始实现“从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的“这个问题。

    双端LIS问题，用动态规划的思想可以解决，目标规划函数为max{B[i] + C[i] - 
1}，其中B[i]是从左到右的，0~i个数之间满足递增的数字个数；C[i]为从右到左的，n- 1 ~ i个数之间满足递增的数字个数。最后结果为n
 - max + 1，其中动态规划的时候，可以用二分查找进行处理，如上述求最长递增子序列的方法二。
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

//最长递增子序列的O（nlogn）方法
//lis[i]表示最长递增子序列的长度的i+1的最小的最后一个元素

int findlis(int *A,int n,int *lefttoright)     //从左向右最长递增子序列  
{
    if(A==NULL||n<0)
        return -1;
    int *lis=new int[n];
    //int *lefttoright=new int[n];
    lefttoright[0]=1;                    //lefttoright[i]保存从左到右，以i为终点的最长递增子序列长度，注意已经是正常的长度了，不是小一了
    int max=0;                           //max是lis[]的最大下标如lis[]={1,2,4}时,max=2;
    lis[0]=A[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int left=0;
        int right=max;
        while(left<=right)            //这个二分查找就是最终left落到指定位置例如lis[]={1,2,4},若A[i]=5，left=3（从0开始），则更新为lis[]={1,2,4,5}；lis[]={1,2,4},若A[i]=3，left=2,则更新为lis[]={1,2,3}；
        {
            int mid=(left+right)/2;
            if(A[i]>lis[mid])
                left=mid+1;
            else
                right=mid-1;
        }
        lis[left]=A[i];
        lefttoright[i]=left+1;    //lefttoright[i]等于left加一，同返回时是max+1同样道理
        if(left>max)          //如果left>max，则让max=left
            max++;
    }
    delete lis;
    return max+1;             //注意，必须返回max+1，才是最终结果max是最长递增子序列长度减一
}

int findrighttoleftincrease(int *A,int n,int * righttoleft)  //从右向左最长递增子序列，也可以说成是从左向右最长递减子序列
{
    if(A==NULL||n<0)
        return -1;
    int *lis=new int[n];
    //int *righttoleft=new int[n];
    lis[0]=A[n-1];           //lis[0]=为A【n-1]
    righttoleft[n-1]=1;      //注意是lefttoright[n-1]=1
    int max=0;
    int left,right;
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        left=0;
        right=max;
        while(left<=right)
        {
            int mid=(left+right)/2;
            if(A[i]>lis[mid])
                left=mid+1;
            else
                right=mid-1;
        }
        lis[left]=A[i];
        righttoleft[i]=left+1;
        if(left>max)                  //其实这时，max++后，max==left
            max++;
    }
    delete lis;
    return max++;
}
            

int main()
{
    //网易的去掉最少元素使得从左向右递增然后递减，即为从左向右递增然后递减的最大值
    //Big=max（lefttoright[i]+righttoleft[i]-1}
    //所求即为n-Big。
    int A[]={2,3,5,1,6,9,10,15,1};
    int *lefttoright=new int[9];
    int *righttoleft=new int[9];
    int maxleft=findlis(A,9,lefttoright);
    if(maxleft==-1)
        cout<<"wrong"<<endl;
    else
        cout<<"max num lefttoright= "<<maxleft<<endl;
    int maxright=findrighttoleftincrease(A,9,righttoleft);
    if(maxright==-1)
        cout<<"wrong"<<endl;
    else
        cout<<"max num righttoleft= "<<maxright<<endl;
    int max=0;
    for(int i=0;i<9;i++)
    {
        if(lefttoright[i]+righttoleft[i]-1>max)
            max=lefttoright[i]+righttoleft[i]-1;
    }
    cout<<"去除"<<9-max<<endl;
    delete lefttoright;
    delete righttoleft;
    system("pause");
}

完。