寒假集训学习记录 1-19

　　嗯，今天的更草率（懒狗实锤了）呜呜呜。水一个博客吧，就……

　　那么今天的内容就是同余定理了，简单到不好意思写，，，

 

1.定理描述
给定一个正整数m(m > 1)，如果两个整数 a 和 b 满足 a-b能够被 m 整除，即 (a-b)/m 得到一个整数，那么就称 a 与 b 对模m同余，记作:a ≡ b(mod m)，读作 ：a 与 b 对模 m同余。

显然有如下事实：

1）若 a ≡ 0(mod m)，则 a | m;

2) a ≡ b(mod m)等价于分别用 m 去除 a 和 b ,余数相同。

2.基本性质
① 反身性：a ≡ a(mod m)

②对称性：若 a ≡ b(mod m)，则 b ≡ a(mod m)

③传递性：a ≡ b(mod m)，b ≡ c(mod m)，则 a ≡ c(mod m)

④同余式相加： a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 a ± c ≡ b ± d(mod m)

⑤同余式相乘：a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 ac ≡ bd(mod m)

⑥线性运算：a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 a ± c ≡ b ± d(mod m)，a * c ≡ b * d(mod m)

⑦除法：ac ≡ bc(mod m)，c ≠ 0，则 a ≡ b(mod m／gcd(c,m))，其中，gcd(c,m)表示 c 和 m 的最大公约数

特殊地，gcd(c,m) = 1时，则 a ≡ b(mod m) 

⑧幂运算：

如果a=b(modm),那么a^n=b^n(modm);

⑨ a ≡ b(mod m) ，n = m，则 a ≡ b(mod m)

⑩若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数

3.定理应用
⑴同余定理的加法乘法应用
(a + b) % m = (a % m + b % m) % m

(a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

⑵高精度取模
高精度对单精度取模：一个高精度数对一个数取余，可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。

例如：1234 = （（1 * 10 +2）* 10 +3）* 10 + 4），对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
 
int main()
{
    string num;    //高精度数num用string类型表示
    int num2,i;    // 单精度数num2用整形表示 
    cin>>num>>num2;
    int len = num.length();
    int ans = 0;
    for(i = 0;i < len;i++)
    {
        ans = (ans * 10 + num[i] - '0')% num2;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

　　嗯，然后每天一句，我是小废物。（小废物也实锤），加油|！