寒假集训学习记录 1-17

　　今天的学习真是让人心态炸裂，这个期末的项目作业真是过于突然。嗯，让人处于一种特别想要学习特别想写但是啥也不会的挫败之中，还是太菜了，QAQ。

　　所以还是入正题，今天来说一下快速幂算法，之前好像遇到过但是一直超时不知道怎么优化，下面附上一道题：

　　可以先看看这个题，想想自己的思路。

　　普通的最容易想到的方法（嗯，就是for循环）时间复杂度非常大，需要的运行时间就算算出来了交上去也肯定是无法通过的，而且还有就是可能根本得不到正确答案，早就溢出，结果为0。还有题目上给的取模运算，目的是什么呢，因为这种指数型的增长往往快到不可思议，一部小心就溢出了，指数小还好，大的话用最大的long long也放不下，也不是没想到过用字符串来存，但是这样好像怎么算都是一个问题了（嗷，我太难了，感觉在想桃子）……

　　还好在网上了解到取模的运算法则，如下：

1.(a+b)%c=(a%c+b%c)%c 
2.(a-b)%c=(a%c-b%c)%c
3.(a*b)%c=(a%c*b%c)%c

　　关于这道题的话，看最后一个就行，同时也可以知道(a*b*c)%d=(a%d*b%d*c%d)%d，那么在之前那个for循环的基础上只需要对每一次乘积都提前取模，就可以得到很好的效果，但是虽然能够得到正确的答案，但是在指数很大很大的时候，运行时间非常大，一点也不适用，那么就到了今天的主要内容，快速幂算法。

　　由于之前的代码用for循环指数越大运行时间就越长，所以我么们的目的就是减少指数的大小，增大底数，这样就可以得到很好的效果，如下：

3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3
    =9^5//此时时间复杂度已经降低到了一半了，但是5却不能在继续缩小一半

　　于是在指数为奇数时，可以先提一个底数出来（记得最后别忘了），此时9^5=9*9^4=9*81^2=9^1*6561^1；这样操作后的结果目的就是直到指数为1时，运行时间已经大大减少了，看看此时的代码：

#include <iostream> 
#include <cmath>
using namespace std;
long long mi(long long a,long long b){
    long long ans=1;
    while(b>0){
        if(b%2==0){
            //指数为偶数时
            b= b/2;
            a=a*a%1000;
        }
        else {
            //指数为奇数时
            b=b-1;
            ans=ans*a%1000;
            b=b/2;
            a=a*a%1000; 
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    long long a,b;
    while(cin>>a>>b){
        if(a==0&&b==0) break;
        cout<<mi(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

　　这个时候的代码可用性已经很好了，但是我们观察到在函数里面有重复代码，所以还可以进一步优化一下：

long long ans=1;
    while(b>0){
        if(b%2==1) ans=ans*a%1000;
        b/=2;
        a=(a*a)%1000;
        }        

　　emmm，然后又在网上发现了位运算这个好东西，例如：power&1。因为如果power为偶数，则其二进制表示的最后一位一定是0；如果power是奇数，则其二进制表示的最后一位一定是1。将他们分别与1的二进制做“与”运算，得到的就是power二进制最后一位的数字了，是0则为偶数，是1则为奇数。例如5是奇数，则5&1=1；而6是偶数，则6&1=0；因此奇偶数的判断就可以用“位运算”来替换了。

5 : 0 0 0 0 0 1 0 1
1 : 0 0 0 0 0 0 0 1
6 : 0 0 0 0 0 1 1 0

　　同样，对于power=power/2来说，也可以用更快的“位运算”进行替代，我们只要把power的二进制表示向右移动1位就能变成原来的一半了。

6 : 0 0 0 0 0 1 1 0
3 : 0 0 0 0 0 0 1 1

　　然后我们就会得到一个运算时间极短的程序，like this：

#include <iostream> 
#include <cmath>
using namespace std;
long long mi(long long a,long long b){
    long long ans=1;
    while(b>0){
        if(b&1)/*等价于if(b%2==1)*/{
            ans=ans*a%1000;    
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%1000;
    }
    return ans;
}
int main(){
    long long a,b;
    while(cin>>a>>b){
        if(a==0&&b==0) break;
        cout<<mi(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}

　　嗯，到位，然后每天一句：我是小废物。加油！

最后谢谢大佬的超详细解析，感兴趣可以仔细看看。https://blog.csdn.net/qq_19782019/article/details/85621386?utm_source=app&app_version=4.5.0