2024 年 4月随笔档案 - zltzlt

洛谷 P5293 [HNOI2019] 白兔之舞

摘要：洛谷传送门所求即为： \[\begin{aligned} f_t & = \sum\limits_{m = 0}^L \binom{L}{m} A^m [k \mid m - t] \\ & = \frac{1}{k} \sum\limits_{m = 0}^L \binom{L}{m} A^m 阅读全文

posted @ 2024-04-29 12:41 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P10084 [GDKOI2024 提高组] 计算

摘要：洛谷传送门第一步是一个经典结论，

L = m^{gcd (a, b)} + 1

$L = m^{\gcd(a, b)} + 1$ ，

R = m^{gcd (c, d)}

$R = m^{\gcd(c, d)}$ 。因为

L \equiv 1 (\mod m)

$L \equiv 1 \pmod m$ 且

R \equiv 0 (\mod m)

$R \equiv 0 \pmod m$ ，所以可以把问题的范围改成 \([1, n = R - L + 阅读全文

posted @ 2024-04-28 20:11 zltzlt 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Bluestein's Algorithm

摘要：Bluestein's Algorithm 用于当不是

2

$2$ 的整数次幂时对多项式的 (I)DFT。考虑现在要求：

f_{m} = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} w^{m k}

$f_m = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} a_k w^{mk}$ Bluestein 的核心思想在于拆

m k

$mk$ 。不难证明 \(mk = \ 阅读全文

posted @ 2024-04-27 22:05 zltzlt 阅读(78) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分拆数

摘要：考虑分拆数的生成函数

\prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 - x^{i}}

$\prod\limits_{i = 1}^n \frac{1}{1 - x^i}$ 。研究分母，相当于是互异分拆数，奇数个数被统计

- 1

$-1$ 次，偶数个数被统计

1

$1$ 次。考虑 Ferrers 图，发现在大部分情况下互异奇数分拆数和互异偶数分拆数可以互相转换。阅读全文

posted @ 2024-04-26 13:48 zltzlt 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 115D Unambiguous Arithmetic Expression

摘要：洛谷传送门 CF 传送门直接区间 dp 可以做到

O (n^{3})

$O(n^3)$ ，卡常可过，在此就不赘述了。为了方便先把连续的数字缩成一段。我们考虑直接从前往后扫，扫的过程中 dp。设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 为考虑了

[1, i]

$[1, i]$ ，还有

j

$j$ 个没配对的左括号的方案数。但是我们发现我们阅读全文

posted @ 2024-04-24 18:20 zltzlt 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P4451 [国家集训队] 整数的lqp拆分

摘要：洛谷传送门设

G

$G$ 为斐波那契数列的生成函数，显然有

F = F \times G + 1

$F = F \times G + 1$ 。那么

F = \frac{1}{1 - G} = 1 + \frac{x}{1 - 2 x - x^{2}}

$F = \frac{1}{1 - G} = 1 + \frac{x}{1 - 2x - x^2}$ 。问题是如何展开

\frac{x}{1 - 2 x - x^{2}}

$\frac{x}{1 - 2x - x^2}$ 。因为 \ 阅读全文

posted @ 2024-04-21 14:58 zltzlt 阅读(85) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式全家桶

摘要：求逆考虑倍增。若已经求出

A \times B^{'} \equiv 1 (\mod x^{n})

$A \times B' \equiv 1 \pmod {x^n}$ ，我们希望求出

B

$B$ 使得

A \times B \equiv 1 (\mod x^{2 n})

$A \times B \equiv 1 \pmod {x^{2n}}$ 。有：

B - B^{'} \equiv 0 (\mod x^{n})

$B - B' \equiv 0 \pmod {x^n}$ \[(B - 阅读全文

posted @ 2024-04-19 22:45 zltzlt 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1951G Clacking Balls

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑用相邻两个球之间的距离来描述一个状态。设距离序列为

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

$a_1, a_2, \ldots, a_k$ （忽略

0

$0$ ）。考虑鞅与停时定理，设一个状态的势能为

\sum_{i = 1}^{k} f (a_{i})

$\sum\limits_{i = 1}^k f(a_i)$ ，一次操作能使得势能期望减少

1

$1$ 。阅读全文

posted @ 2024-04-16 14:01 zltzlt 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P8949 [YsOI2022] 淀粉树

摘要：洛谷传送门考虑

d = 2

$d = 2$ 的部分分。相当于只用

2

$2$ 次操作把

T

$T$ 变成一条链。不妨设最后变成的是一个

1 \sim n

$1 \sim n$ 的链，如果不是可以把点重编号。第一次操作考虑以

n

$n$ 为根，每次取每个儿子的子树中的最大值为新的根并和原来的根连边，这样会将整棵树具有阅读全文

posted @ 2024-04-10 16:38 zltzlt 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1942E Farm Game

摘要：洛谷传送门 CF 传送门不妨假设先手的牛在后手的牛左边，右边是对称的。直接给出结论：先手必败当且仅当全部

b_{i} - a_{i}

$b_i - a_i$ 为奇数。证明考虑归纳，首先

\forall i \in [1, n], b_{i} - a_{i} = 1

$\forall i \in [1, n], b_i - a_i = 1$ 是必败态，因为先手只能往左退，最后后手会把先手逼到最阅读全文

posted @ 2024-04-04 22:15 zltzlt 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1942F Farmer John's Favorite Function

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑一些复杂度带根号的做法。考虑分块，对于一个块，我们需要处理出一个数经过这个块会变成哪个数。以下假设块长

\geq 10

$\ge 10$ （最后一个块块长可能

< 10

$< 10$ ，暴力处理即可）。观察这个递推式 \(f_i = \left\lfloor\sqrt{f_{i - 1} 阅读全文

posted @ 2024-04-04 22:03 zltzlt 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2024.4 做题记录

摘要：299. CF1534E Lost Array 难崩。题意转化为每次翻转

m

$m$ 个

01

$01$ 序列的元素，要把全

0

$0$ 翻成全

1

$1$ 。不想分讨。考虑直接最短路求最小步数，转移就枚举选多少个原本已经有的数。交互就记录方案就行了。 300. P9537 [YsOI2023] 阅读全文

posted @ 2024-04-04 22:01 zltzlt 阅读(125) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P9537 [YsOI2023] CF1764B

摘要：洛谷传送门很棒的题。考察终态，可以发现最后输的人拥有的数的数量大概率是比赢家的数量少的。唯一的例外是等差数列，因为一个长为

n

$n$ 的等差数列只能组成

n - 1

$n - 1$ 个不同的差值。考虑若一开始先手就是一个公差为

d

$d$ 的

n + 1

$n + 1$ 项等差数列，后手是一个公差为 \(d 阅读全文

posted @ 2024-04-01 18:44 zltzlt 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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