2023 年 10月随笔档案 - zltzlt

World Tour Finals 2019 D Distinct Boxes

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门神题。设第

i

$i$ 个箱子有

x_{i}

$x_i$ 个红球，

y_{i}

$y_i$ 个蓝球，那么要求找到最大的

K

$K$ 使得

\sum_{i = 1}^{K} x_{i} \leq R, \sum_{i = 1}^{K} y_{i} \leq B

$\sum\limits_{i = 1}^K x_i \le R, \sum\limits_{i = 1}^K y_i \le B$ ，且阅读全文

posted @ 2023-10-30 21:40 zltzlt 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1246F Cursor Distance

摘要：洛谷传送门 CF 传送门发现一个性质：能跳不超过

j

$j$ 步到达

i

$i$ 的所有点形成一段区间。设这这段区间为

[L_{i, j}, R_{i, j}]

$[L_{i, j}, R_{i, j}]$ 。那么答案即为： \[\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 0} n - R_{i, j 阅读全文

posted @ 2023-10-30 17:35 zltzlt 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 036 D Negative Cycle

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门没有负环等价于每个点都存在最短路。那么就是要找到一组标号

a_{i}

$a_i$ ，使得对于每条

u \to v

$u \to v$ 且边权为

d

$d$ 的边，都有

a_{v} - a_{u} \leq d

$a_v - a_u \le d$ 。如果我们差分

b_{i} = a_{i} - a_{i + 1}

$b_i = a_i - a_{i + 1}$ ，那么每个阅读全文

posted @ 2023-10-30 07:47 zltzlt 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CSP-S 2023 消消乐

摘要：洛谷传送门考虑 dp，设

f_{i}

$f_i$ 为以

i

$i$ 结尾的合法子串个数。如果我们能对每个

i

$i$ ，求出来

g_{i}

$g_i$ 表示最大的左端点

l

$l$ 使得

[l, i]

$[l, i]$ 是合法串，那么

f_{i} = f_{g_{i} - 1} + 1

$f_i = f_{g_i - 1} + 1$ 。若

g_{i}

$g_i$ 不存在则 \(f_ 阅读全文

posted @ 2023-10-29 20:35 zltzlt 阅读(179) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1887D Split

摘要：洛谷传送门 CF 传送门

a_{l}, a_{l + 1}, \dots a_{r}

$a_l, a_{l + 1}, \ldots a_r$ 是好的当且仅当

\exists k \in [l, r - 1], {max}_{i = l}^{k} a_{i} < {min}_{i = k + 1}^{r} a_{i}

$\exists k \in [l, r - 1], \max\limits_{i = l}^k a_i < \min\limits_{i = k + 1}^r a_i$ ，称此时的

k

$k$ 阅读全文

posted @ 2023-10-28 13:46 zltzlt 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

省选联考 2022 填树

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门这题做得真艰难。先考虑第一问。一眼看上去并没有什么复杂度脱离值域的办法。考虑枚举一个

x

$x$ 表示最小值，那么点权只能在

[x, x + K]

$[x, x + K]$ 中。点权最小值不一定为

x

$x$ ，减去点权在

[x + 1, x + K]

$[x + 1, x + K]$ 中的答案即可，也就是把阅读全文

posted @ 2023-10-28 13:37 zltzlt 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JOISC 2014 D1T1 巴士走读

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门考虑把边按到达时间排序，然后从前往后扫并做一个 dp。设

f_{u}

$f_u$ 表示

1

$1$ 到达

u

$u$ 的最晚出发时间。那么对于一条边

(u, v, a, b)

$(u, v, a, b)$ ：若

u = 1

$u = 1$ ，则

f_{v} = max (f_{v}, x)

$f_v = \max(f_v, x)$ ；否则 \(f_v 阅读全文

posted @ 2023-10-28 13:10 zltzlt 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 216 H Random Robots

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门下文令

n

$n$ 为原题中的

K

$K$ ，

m

$m$ 为原题中的

N

$N$ 。首先概率转方案数，最后除

2^{n m}

$2^{nm}$ 即可。考虑一个指数级暴力：枚举每个 bot 的终点

y_{i}

$y_i$ （因为存在不能相交的限制，需要满足 \(y_1 < y_2 < \ 阅读全文

posted @ 2023-10-27 10:34 zltzlt 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2021 路径交点

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门两条路径的交点数量只和起点数量有关。容易发现是终点排列的逆序对数的奇偶性。求一个

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 表示从第

1

$1$ 层的第

i

$i$ 个点到第

k

$k$ 层的第

j

$j$ 个点的路径数量，对这个矩阵求行列式即可。对于相交的路径数不用考虑，因为总存在和阅读全文

posted @ 2023-10-27 08:24 zltzlt 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Regular Contest 164 F Subtree Reversi

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门非常好题目。发现每个点颜色被反转的次数是固定的，为其深度（根结点深度为

0

$0$ ）。于是可以看作是，一放棋子就得到分数。那么先手取偶数层和后手取奇数层都会使先手得分，所以双方的目标都是尽可能多取偶数层的结点。考虑若一开始有偶数层的叶子，那么当前的先手肯定会阅读全文

posted @ 2023-10-26 21:19 zltzlt 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 946F Fibonacci String Subsequences

摘要：洛谷传送门 CF 传送门 duel 的时候差点不会 2400 了。套路地，考虑每个

F (x)

$F(x)$ 中与

s

$s$ 相同的子序列的贡献。设这个子序列为

F (x)_{p_{1}}, F (x)_{p_{2}}, F (x)_{p_{3}}, \dots, F (x)_{p_{n}}

$F(x)_{p_1}, F(x)_{p_2}, F(x)_{p_3}, \ldots, F(x)_{p_n}$ 。我们想要它成为一个子序阅读全文

posted @ 2023-10-24 16:09 zltzlt 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

USACO 2023 US Open Platinum Triples of Cows

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门 hot tea. 一次删点操作的影响太大了，考虑添加虚点以减小影响（相同的套路在 CF1882E2 Two Permutations (Hard Version) 也出现过）。具体而言，我们把第

i

$i$ 条边

(u, v)

$(u, v)$ 变成 \((u, n + i), 阅读全文

posted @ 2023-10-18 20:44 zltzlt 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

USACO 2020.12 Platinum Spaceship

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门考虑剥路径最大值 dp，设

f_{k, i, j}

$f_{k, i, j}$ 为

i \to j

$i \to j$ 中按的最大的按钮

\leq k

$\le k$ 的方案数。转移枚举按下最大值按钮的点

w

$w$ ，有： \[f_{k, i, j} = \sum\limits_{(u, w), (w, v) \ 阅读全文

posted @ 2023-10-16 22:17 zltzlt 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Regular Contest 066 F Contest with Drinks Hard

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门下文令

a

$a$ 为原题中的

T

$T$ 。考虑若没有饮料，可以设

f_{i}

$f_i$ 表示，考虑了前

i

$i$ 道题，第

i

$i$ 道题没做的最大得分。转移就枚举上一道没做的题

j

$j$ ，那么

[j + 1, i - 1]

$[j + 1, i - 1]$ 形成一个连续段。设 \(b 阅读全文

posted @ 2023-10-16 21:17 zltzlt 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Gym101064L The Knapsack problem

摘要：CF 传送门发现物品的体积很小，尝试从此处入手。设

K

$K$ 为最大的物品体积。把背包体积

m

$m$ 分成差不超过

K

$K$ 的两部分，然后合并。这样需要求出

f (\frac{m}{2} - K \sim \frac{m}{2} + K)

$f(\frac{m}{2} - K \sim \frac{m}{2} + K)$ 。递归地，可以发现需要求出 \(f(\fr 阅读全文

posted @ 2023-10-16 14:31 zltzlt 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 887E Little Brother

摘要：洛谷传送门 CF 传送门根据初中数学知识，圆心在

A B

$AB$ 线段的中垂线上。又因为给定圆与

A B

$AB$ 线段所在直线不交，所以圆心在中垂线的一端极远处完全包含这个给定圆，在另一端极远处与这个给定圆相离。而具体在哪一端只与圆心在

A B

$AB$ 的左侧还是右侧有关。因此可以二分找到与给定圆外阅读全文

posted @ 2023-10-16 14:17 zltzlt 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 180 F Unbranched

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先进行一个容斥，把连通块最大值

= K

$= K$ 变成

\leq K

$\le K$ 的方案数减去

\leq K - 1

$\le K - 1$ 的方案数。考虑 dp，设

f_{i, j}

$f_{i, j}$ 表示当前用了

i

$i$ 个点，

j

$j$ 条边。转移即枚举其中一个连通块的大小

k

$k$ 阅读全文

posted @ 2023-10-16 13:57 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

USACO 2021.12 Platinum Paired Up

摘要：洛谷传送门 LOJ 传送门如果

T = 1

$T = 1$ ，可以把重量全部取相反数转化成

T = 2

$T = 2$ 。接下来只考虑

T = 2

$T = 2$ 的情况。下文的

m

$m$ 代表原题中的

K

$K$ 。设第

i

$i$ 个 G 牛的位置和重量分别为

a_{0, i}, b_{0, i}

$a_{0, i}, b_{0, i}$ ，第 \(i 阅读全文

posted @ 2023-10-16 12:55 zltzlt 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1886E I Wanna be the Team Leader

摘要：洛谷传送门 CF 传送门把题意抽象成，给你长为

n

$n$ 的序列

a

$a$ 和长为

m

$m$ 的序列

b

$b$ ，初始有

m

$m$ 个空集合（可重集），

a

$a$ 中的每个元素至多被分到

m

$m$ 个集合中的一个。要求最后第

i

$i$ 个集合

T_{i}

$T_i$ 不为空，且 \(\fora 阅读全文

posted @ 2023-10-14 16:20 zltzlt 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

GDCPC2023 L Classic Problem

摘要：洛谷传送门 CF 传送门对于一个点

x

$x$ ，若

\exists i, u_{i} = x \lor v_{i} = x

$\exists i, u_i = x \lor v_i = x$ ，则称

x

$x$ 为特殊点，否则为一般点。首先发现，对于极长的一段

[l, r]

$[l, r]$ 满足

l \sim r

$l \sim r$ 均为一般点，那么可以连边 \((l, l + 1) 阅读全文

posted @ 2023-10-13 17:07 zltzlt 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1882E2 Two Permutations (Hard Version)

摘要：洛谷传送门 CF 传送门如何评价，模拟赛搬了一道，前一天晚上代码写了一半的题。考虑如何让操作次数最小。发现直接做太困难了。根本原因是，一次操作对序列的影响太大了。考虑做一些转化，减少一次操作对序列的影响。仍然先考虑一个排列怎么做。不知道为什么可以想到在排列前面添加特殊字符

0

$0$ 变成阅读全文

posted @ 2023-10-11 15:12 zltzlt 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1882E1 Two Permutations (Easy Version)

摘要：洛谷传送门 CF 传送门考虑若是对一个排列进行操作，怎么做。我们维护一个排列上的值域连续段

[l, r]

$[l, r]$ ，满足

a_{l + 1} = a_{l} + 1, a_{l + 2} = a_{l + 1} + 1

$a_{l + 1} = a_l + 1, a_{l + 2} = a_{l + 1} + 1$ ，以此类推。初始

l = r = 1

$l = r = 1$ 。那么我们每次可以选择往外扩充阅读全文

posted @ 2023-10-11 15:10 zltzlt 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1876D Lexichromatography

摘要：洛谷传送门 CF 传送门这说明你的能力还不足以维持 IM。显然 balanced 的充要条件是，对于每个值，染色一定是 RB 交替。然后一种值只会有先染红或先染蓝两种情况。然后还剩下字典序严格小于的条件。我场上的想法是枚举

LCP

$\text{LCP}$ ，然后推出来一个巨大麻烦做法，根本写不出来阅读全文

posted @ 2023-10-09 10:19 zltzlt 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 057 E RowCol/ColRow Sort

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门首先考虑一个经典的套路：转

01

$01$ 。具体而言，我们考虑若值域是

[0, 1]

$[0, 1]$ 怎么做。发现可以很容易地判定一个

A

$A$ 是否合法。设矩阵第

i

$i$ 行的和为

r_{i}

$r_i$ ，第

j

$j$ 列的和为

c_{j}

$c_j$ ，那么合法当且仅当 \(A 阅读全文

posted @ 2023-10-07 14:30 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Powerful Number 筛

摘要：Powerful Number 筛（PN 筛）可以解决一些求积性函数前缀和的问题。要求能构造出一个积性函数

g

$g$ ，满足：

g

$g$ 容易求前缀和；对于质数

p

$p$ ，

f (p) = g (p)

$f(p) = g(p)$ 。称一个数

x

$x$ 是 Powerful Number（PN）当且仅当

x

$x$ 的阅读全文

posted @ 2023-10-06 20:12 zltzlt 阅读(188) 评论(0) 推荐(0) 编辑

洛谷 P7830 [CCO2021] Through Another Maze Darkly

摘要：洛谷传送门被联考创出 shit 了。考虑一种极限情况：每个点指向父亲。那么这种情况我们会顺着欧拉序完整地把整棵树都走一遍。但是初始的时候不一定每个点都指向父亲。发现我们走过

O (n^{2})

$O(n^2)$ 步就能到达上面的极限情况。比较显然，因为每次扩展至少使一个点从不指向父亲变成指向父亲（称一次扩展为阅读全文

posted @ 2023-10-05 22:49 zltzlt 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1864H Asterism Stream

摘要：洛谷传送门 CF 传送门好题。考虑计算

x

$x$ 落在

[1, n - 1]

$[1, n - 1]$ 的概率。设

f_{i}

$f_i$ 为

x

$x$ 经过

i

$i$ 的概率，答案即为

\sum_{i = 1}^{n - 1} f_{i}

$\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} f_i$ 。

f

$f$ 有一个朴素的递推： \[f_i = \be 阅读全文

posted @ 2023-10-04 16:50 zltzlt 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

GDCPC2023 J X Equals Y

摘要：洛谷传送门 Gym 传送门当时在 GDCPC 现场是这题首杀。20min 就会了，但是 2h 才有电脑写（观察到至多

50

$50$ 组数据满足

max (x, y) > 10^{6}

$\max(x, y) > 10^6$ ，考虑一些根号做法。当

f (x, a)

$f(x, a)$ 的长度

\geq 3

$\ge 3$ 时，\(a \le \sqrt{ 阅读全文

posted @ 2023-10-04 07:37 zltzlt 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 036 F Square Constraints

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门本质是

p_{i} \in [l_{i}, r_{i}]

$p_i \in [l_i, r_i]$ 的计数问题。当

1 \leq i \leq n

$1 \le i \le n$ 时，

l_{i}

$l_i$ 才可能不等于

1

$1$ 。考虑容斥，设钦定

m

$m$ 个不满足条件（上界为

l_{i} - 1

$l_i - 1$ ），其余任意（上界为

r_{i}

$r_i$ 阅读全文

posted @ 2023-10-03 21:36 zltzlt 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Beginner Contest 288 Ex A Nameless Counting Problem

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门考虑到规定单调不降比较难搞。先设

g_{t}

$g_t$ 为长度为

t

$t$ 的满足条件的序列个数（可重且有顺序）。求这个可以设个 dp，

f_{d, i}

$f_{d, i}$ 表示考虑到从高到低第

d

$d$ 位，当前

t

$t$ 个数中有

i

$i$ 个仍然顶上界，并且之前的位都阅读全文

posted @ 2023-10-03 18:13 zltzlt 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Gym 103428B Subset

摘要：CF 传送门首先考虑没有选出的数互不相同的限制。设

f_{m}

$f_m$ 为选出

m

$m$ 个

\in [0, n]

$\in [0, n]$ 的数，异或

popcount = k

$\text{popcount} = k$ 的方案数。可以考虑枚举这

m

$m$ 个数和

n

$n$ 的

LCP

$\text{LCP}$ （要求后一位为

1

$1$ 阅读全文

posted @ 2023-10-02 22:06 zltzlt 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AtCoder Grand Contest 056 D Subset Sum Game

摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门考虑若

n

$n$ 是奇数怎么做。枚举 Alice 第一次选的数

a_{i}

$a_i$ ，然后考虑把剩下的数两两结成一个匹配，若 Bob 选了其中一个，Alice 就选另一个。容易发现排序后奇数位和它右边的偶数位匹配最优。那么设奇数位的和为

A

$A$ ，偶数位的和为 \( 阅读全文

posted @ 2023-10-02 08:50 zltzlt 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CodeForces 1874B Jellyfish and Math

摘要：洛谷传送门 CF 传送门看到这种操作乱七八糟不能直接算的题，可以考虑最短路。对于

a, b, c, d, m

$a, b, c, d, m$ 按位考虑，发现相同的

(a, b, m)

$(a, b, m)$ 无论如何操作必然还是相同的。于是考虑对于每个可能的

(0 / 1, 0 / 1, 0 / 1)

$(0/1, 0/1, 0/1)$ ，所有终态有 \((c = 0/1, 阅读全文

posted @ 2023-10-01 17:08 zltzlt 阅读(108) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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