2024.7 做题记录

409. P10704 救赎（Redemption）

不依赖 $a_i \le 10^9$ 的做法。

设 $b_x$ 为有多少个 $i$ 使得 $a_i = x$。

设一个阈值 $B$。当 $\frac{m}{a_i a_j} > B$ 时 $a_i a_j < \frac{m}{B}$，可以直接枚举 $a_i$ 和 $a_j$ 然后利用 $b$ 数组统计。这部分时间复杂度为 $O(\frac{m}{B} \ln \frac{m}{B})$。

当 $\frac{m}{a_i a_j} \le B$ 时，统计 $\left\lfloor\frac{m}{a_i a_j}\right\rfloor$ 之和可以转化为对于一个整数 $k \in [1, B]$，有多少对 $(i, j)$ 满足 $x \le \frac{m}{a_i a_j}$ 即 $x \cdot a_i \cdot a_j \le m$。可以排序后双指针统计。这部分时间复杂度为 $O(nB)$。

总时间复杂度为 $O(\frac{m}{B} \ln \frac{m}{B} + nB)$。取 $B = 350$ 可以通过。

410. P10716 【MX-X1-T4】「KDOI-05」简单的字符串问题

一个 $A$ 合法的充要条件为：

• $A$ 为 $S_{1 \sim i}$ 的一个 border；
• $A$ 在 $S_{1 \sim i}$ 中不重叠地出现 $\ge k$ 次。

建出失配树后，发现合法的 $A$ 在树上组成一条某个点 $u$ 到根的链，且 $u$ 为 $i$ 的祖先。因此我们若知道 $u$，答案就是 $dep_u$。

考虑倍增求出 $u$。相当于要 check 这样一个问题：

• $S_{1 \sim u}$ 的第 $k$ 次不重叠出现位置是否 $\le i$。

考虑预处理出每个前缀 $S_{1 \sim u}$ 对应的串在整个串中的不重叠出现位置。相当于每次找到一个位置后面第一个后缀，使得它与整个串的 LCP 长度 $\ge u$，然后跳到它。跳的步数最多是 $\sum\limits_{i = 1}^n \frac{n}{i} = O(n \log n)$ 所以可以暴力跳。

一个后缀与整个串的 LCP 长度可以想到 Z 函数。用并查集维护链表的 trick，从小到大枚举 $u$，处理完 $u$ 后把 $z_p = u$ 的所有位置 $p$ 删了，使得处理到 $u$ 时，并查集中 $z_p \ge u$ 的位置为代表元。这样即可 $O(\alpha(n))$ 求出一个位置后面第一个 $p$ 使得 $z_p \ge u$ 的 $p$。

注意特判 $k = 1$。

总时间复杂度 $O(q \log n + n \alpha(n) \log n)$。

411. CF1975F Set

412. CF1732E Location

413. CF1677E Tokitsukaze and Beautiful Subsegments

唉，套路题。

求出以每个 $p_i$ 作为最大值的区间范围 $l \in [L_i, i], r \in [i, R_i]$。再找到全部 $p_a \cdot p_b = p_i$ 的位置 $(a, b)$，那么同时包含 $i, x, y$ 且是 $[L_i, R_i]$ 的子区间的区间 $l \in [L_i, x], r \in [y, R_i]$ 是合法的。

于是原问题变成了一个矩形覆盖矩形求和的问题。太困难。

但是发现矩形有交当且仅当它们从同一个 $i$ 产生，所以可以对于所有的 $(x, y)$ 做一个类似单调栈的东西（就是去除所有覆盖范围被其他 $(x, y)$ 完全包含的点对），然后就可以转化成矩形加矩形求和。可以树状数组解决。

时间复杂度 $O(n \log^2 n + q \log n)$。

414. CF961F k-substrings

发现往头尾各添加一个字符后，border 的长度至多增加 $2$。

于是按串长从小往大推即可，哈希判一下当前的长度是否为 border。