自己卷自己的分治 NTT

考虑如下卷积：

\[f_i = \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} f_j f_{i - j} \]

仍然可以 cdq 分治计算。

考虑当前在 \([l, r]\)，希望计算 \([l, mid]\) 贡献到 \([mid + 1, r]\)。若 \(r - l < l\) 那么 \([1, r - l]\) 都被算出，直接用 \([1, r - l]\) 和 \([l, mid]\) 卷两遍即可；否则 \(l = 1\)，\([l, mid]\) 和 \([l, mid]\) 卷一遍即可。

1. [ABC315Ex] Typical Convolution Problem

设 \(g_i = \sum\limits_{j + k \le i} f_j f_k\)，那么 \(f, g\) 可以互推，就化成上面的形式了。

2. P4566 [CTSC2018] 青蕈领主

考虑这些极长区间一定形成了树形结构，不然就无解。

对于树上的一个点，设 \(f_n\) 为长度为 \(n + 1\) 的排列，所有连续区间要么长度为 \(1\) 要么包含位置 \(n + 1\) 的方案数。那么答案即为 \(\prod f_{|son_i|}\)。

问题转为计算 \(f_n\)。

若取其逆排列，那么所有连续区间要么长度为 \(1\) 要么包含最大值。

考虑由长度为 \(n - 1\) 推到长度为 \(n\)。

若原来的排列合法，那么最大值插入任意非端点位置即可。所以贡献是 \((n - 1) f_{n - 1}\)。

若原来的排列不合法，那么极长的不包含最大值的段只能有一个，因为最大值的插入只能破坏一个。考虑取极长的不包含最大值的段，设其段长为 \(i\)。那么最大值肯定是插入其中 \(i - 1\) 个空隙；把这一段视为整体，和其他 \(n - i\) 个元素构成的段也要合法。所以贡献是 \((i - 1) f_i f_{n - i}\)。

这样我们得到了递推式：\(f_i = (i - 1) f_{i - 1} + \sum\limits_{j = 2}^{n - 2} (j - 1) f_j f_{i - j}\)。

即：\(f_i = (3 - i) f_{i - 1} + \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} (j - 1) f_j f_{i - j}\)。

就可以直接计算了。