WC2024 线段树
若一个结点 \([l_i, r_i)\) 已知就连边 \((l_i, r_i)\)，那么子集满足条件当且仅当每对 \((L_i, R_i)\) 都连通。
考虑在树形结构上 dp。发现若 \(l, r\) 不连通，设 \(l\) 所在连通块点编号最大值为 \(i\)，那么 \(r\) 所在连通块点编号最小值 \(> i\)。
于是设 \(f_{u, i}\) 为 \(u\) 结点 \(l, r\) 不连通，\(l\) 所在连通块点编号最大值为 \(i\) 且满足子树中所有条件的方案数（在子树中定义为 \(L_i, R_i\) 至少有一个在子树中），\(g_u\) 为 \(u\) 结点 \(l, r\) 连通且满足子树中所有条件的方案数。考虑 \(l, r\) 之间是否连边，就有转移（设 \(v\) 为 \(u\) 的左儿子，\(w\) 为 \(u\) 的右儿子）：
\[2 g_v g_w \to g_u
\]
\[g_v f_{w, i} \to g_u, g_v f_{w, i} \to f_{u, i}
\]
\[g_w f_{v, i} \to g_u, g_w f_{v, i} \to f_{u, i}
\]
\[f_{v, i} f_{w, j} \to g_u, f_{v, i} f_{w, j} \to f_{u, i/j}
\]
第四种转移要注意，\([i + 1, j]\) 的部分会和外界不连通，所以不能存在 \((L_i, R_i)\) 使得一个在 \([i + 1, j]\) 里面一个不在。然后转移到 \(f_{u, i}\) 或 \(f_{u, j}\) 都是满足状态定义的，可以任意转移到一个。
考虑异或哈希，对每对 \((L_i, R_i)\)，让 \(a_{L_i}, a_{R_i}\) 都异或上一个随机数，然后对 \(a\) 做一遍前缀异或，那么第四种转移的充要条件为 \(a_i = a_j\)。
此时我们发现 \(a_i\) 相等的状态可以放在一起考虑。若把 \(i\) 改写成 \(a_i\)，那么：
\[2 g_v g_w \to g_u
\]
\[g_v f_{w, i} \to g_u, g_v f_{w, i} \to f_{u, i}
\]
\[g_w f_{v, i} \to g_u, g_w f_{v, i} \to f_{u, i}
\]
\[f_{v, i} f_{w, i} \to g_u, f_{v, i} f_{w, i} \to f_{u, i}
\]
线段树合并维护即可。在叶子处合并 dp 值，若走到了非公共结点就打个乘法 tag。
时间复杂度 \(O(n \log n)\)，默认 \(n, m\) 同阶。
code
// Problem: P10145 [WC/CTS2024] 线段树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P10145
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;
const int maxn = 400100;
const ll mod = 998244353;
ll n, m, p[maxn], nt, ls[maxn], rs[maxn], tot, g[maxn];
ull a[maxn], lsh[maxn];
pii b[maxn];
mt19937_64 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
int rt[maxn];
int build(int l, int r, int &k) {
int u = ++nt;
b[u] = mkp(l, r);
if (l + 1 == r) {
return u;
}
int mid = p[++k];
ls[u] = build(l, mid, k);
rs[u] = build(mid, r, k);
return u;
}
namespace SGT {
int ls[maxn * 20], rs[maxn * 20];
ll tag[maxn * 20], sum[maxn * 20];
inline void pushup(int x) {
sum[x] = (sum[ls[x]] + sum[rs[x]]) % mod;
}
inline void pushtag(int x, ll y) {
if (!x) {
return;
}
sum[x] = sum[x] * y % mod;
tag[x] = tag[x] * y % mod;
}
inline void pushdown(int x) {
if (tag[x] == 1) {
return;
}
pushtag(ls[x], tag[x]);
pushtag(rs[x], tag[x]);
tag[x] = 1;
}
void update(int &rt, int l, int r, int x) {
if (!rt) {
rt = ++nt;
tag[rt] = 1;
}
if (l == r) {
sum[rt] = 1;
return;
}
pushdown(rt);
int mid = (l + r) >> 1;
(x <= mid) ? update(ls[rt], l, mid, x) : update(rs[rt], mid + 1, r, x);
pushup(rt);
}
ll query(int rt, int l, int r, int x) {
if (!rt) {
return 0;
}
if (l == r) {
return sum[rt];
}
pushdown(rt);
int mid = (l + r) >> 1;
return x <= mid ? query(ls[rt], l, mid, x) : query(rs[rt], mid + 1, r, x);
}
int merge(int u, int v, ll x, ll y, int l, int r) {
if (!u) {
pushtag(v, y);
return v;
}
if (!v) {
pushtag(u, x);
return u;
}
if (l == r) {
sum[u] = (sum[u] * x + sum[v] * y + sum[u] * sum[v]) % mod;
return u;
}
pushdown(u);
pushdown(v);
int mid = (l + r) >> 1;
ls[u] = merge(ls[u], ls[v], x, y, l, mid);
rs[u] = merge(rs[u], rs[v], x, y, mid + 1, r);
pushup(u);
return u;
}
}
void dfs(int u) {
if (!ls[u]) {
SGT::update(rt[u], 1, tot, a[b[u].fst]);
g[u] = 1;
return;
}
int v = ls[u], w = rs[u];
dfs(v);
dfs(w);
rt[u] = SGT::merge(rt[v], rt[w], g[w], g[v], 1, tot);
g[u] = (g[v] * g[w] * 2 + SGT::sum[rt[u]]) % mod;
}
void solve() {
scanf("%lld%lld", &n, &m);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
scanf("%lld", &p[i]);
}
while (m--) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
ull x = rnd();
a[l] ^= x;
a[r] ^= x;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) {
a[i] ^= a[i - 1];
}
int k = 0;
build(0, n, k);
bool fl = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
lsh[++tot] = a[i];
fl |= (a[i] == 0);
}
sort(lsh + 1, lsh + tot + 1);
tot = unique(lsh + 1, lsh + tot + 1) - lsh - 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
a[i] = lower_bound(lsh + 1, lsh + tot + 1, a[i]) - lsh;
}
dfs(1);
printf("%lld\n", (g[1] + (fl ? SGT::query(rt[1], 1, tot, 1) : 0)) % mod);
}
int main() {
int T = 1;
// scanf("%d", &T);
while (T--) {
solve();
}
return 0;
}
