CodeForces 1895F Fancy Arrays

洛谷传送门

CF 传送门

看到题目感觉很怪，没有什么很好的直接做的办法。于是考虑容斥，\(\min a_i \le x + k - 1\) 的方案数减去 \(\max a_i < x\) 的方案数即为答案。

前者的方案数是好算的。注意到只要确定了 \(\min a_i\) 和差分数组 \(a_i - a_{i - 1}\) 就能确定 \(a_1\)，所以 \(\min a_i\) 和差分数组的方案相互独立，分别为 \(x + k\) 和 \((2k + 1)^{n - 1}\)，乘起来即可。

后者发现可以直接做一个 \(O(nx)\) 的朴素 dp，设 \(f_{i, j}\) 为 \(a_i = j\) 的方案数即可。转移容易刻画成矩阵形式，矩阵快速幂优化，就变成 \(O(x^3 \log n)\) 了。

时间复杂度 \(O(T x^3 \log n)\)。

code

// Problem: F. Fancy Arrays
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 157 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1895/F
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 45;
const ll mod = 1000000007;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, m, K;

struct mat {
	ll a[maxn][maxn];
	mat() {
		mems(a, 0);
	}
} I;

inline mat operator * (const mat &a, const mat &b) {
	mat res;
	for (int k = 0; k < K; ++k) {
		for (int i = 0; i < K; ++i) {
			for (int j = 0; j < K; ++j) {
				res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
			}
		}
	}
	return res;
}

inline mat qpow(mat a, ll p) {
	mat res = I;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * a;
		}
		a = a * a;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &K, &m);
	ll ans = qpow((m * 2 + 1) % mod, n - 1) * (m + K) % mod;
	for (int i = 0; i < K; ++i) {
		I.a[i][i] = 1;
	}
	mat a;
	for (int i = 0; i < K; ++i) {
		for (int j = 0; j < K; ++j) {
			a.a[i][j] = (abs(i - j) <= m);
		}
	}
	mat res;
	for (int i = 0; i < K; ++i) {
		res.a[0][i] = 1;
	}
	res = res * qpow(a, n - 1);
	for (int i = 0; i < K; ++i) {
		ans = (ans - res.a[0][i] + mod) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}

说实话想到容斥就做完了，但是我没想到，乐。