AtCoder Grand Contest 036 D Negative Cycle

洛谷传送门

AtCoder 传送门

没有负环等价于每个点都存在最短路。那么就是要找到一组标号 \(a_i\)，使得对于每条 \(u \to v\) 且边权为 \(d\) 的边，都有 \(a_v - a_u \le d\)。

如果我们差分 \(b_i = a_i - a_{i + 1}\)，那么每个 \(b_i\) 非负，且 \(b_i \ge 2\) 一定不优，所以只用考虑 \(b_i \in \{0, 1\}\) 的情况。

发现 \(i < j\) 的边当区间和 \(= 0\) 时必须删除，\(i > j\) 的边当区间和 \(\ge 2\) 时必须删除。

设 \(f_{i, j}\) 为最后一个 \(1\) 在位置 \(i\)，倒数第二个 \(1\) 在位置 \(j\)，转移枚举倒数第三个 \(1\) 的位置 \(k\) 即可。

转移系数可以朴素二维前缀和处理。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

code

// Problem: D - Negative Cycle
// Contest: AtCoder - AtCoder Grand Contest 036
// URL: https://atcoder.jp/contests/agc036/tasks/agc036_d
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 510;

ll n, a[maxn][maxn], b[maxn][maxn], f[maxn][maxn], c[maxn][maxn];

inline ll qsum(int xl, int xr, int yl, int yr) {
	return b[xr][yr] + b[xl - 1][yl - 1] - b[xl - 1][yr] - b[xr][yl - 1];
}

void solve() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			if (i == j) {
				continue;
			}
			scanf("%lld", &a[i][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			b[i][j] = b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j];
		}
	}
	for (int i = n; i; --i) {
		for (int j = i; j <= n; ++j) {
			c[i][j] = c[i + 1][j] + c[i][j - 1] - c[i + 1][j - 1] + a[i][j];
		}
	}
	mems(f, 0x3f);
	ll ans = 9e18;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		f[i][0] = c[1][i];
		ans = min(ans, f[i][0] + c[i + 1][n]);
		for (int j = 1; j < i; ++j) {
			for (int k = 0; k < j; ++k) {
				f[i][j] = min(f[i][j], f[j][k] + c[j + 1][i] + qsum(j + 1, i, 1, k));
			}
			// printf("%d %d %lld %lld %lld\n", i, j, f[i][j], c[i + 1][n], qsum(i, n, 1, j));
			ans = min(ans, f[i][j] + c[i + 1][n] + qsum(i + 1, n, 1, j));
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}