AtCoder Beginner Contest 180 F Unbranched

洛谷传送门

AtCoder 传送门

首先进行一个容斥，把连通块最大值 \(= K\) 变成 \(\le K\) 的方案数减去 \(\le K - 1\) 的方案数。

考虑 dp，设 \(f_{i, j}\) 表示当前用了 \(i\) 个点，\(j\) 条边。转移即枚举其中一个连通块的大小 \(k\)。为了不算重，我们强制让这个连通块包含点 \(1\)，类比状压中枚举包含 \(\text{lowbit}(S)\) 的子集。

• 如果这个连通块是环，那么给这个连通块标号 \(1 \sim k\) 的方案数为 \(\frac{(k - 1)!}{2}\)，从 \(f_{i - k, j - k}\) 转移。特别地，\(2\) 元环的方案数为 \(1\)。
• 如果这个连通块是链，那么方案数为 \(\frac{k!}{2}\)，从 \(f_{i - k, j - (k - 1)}\) 转移。

还要乘一个给这 \(k\) 个点选择标号的方案数。\(1\) 被确定一定要选，剩下 \(i - 1\) 个标号要选 \(k - 1\) 个，所以方案数就是 \(\binom{i - 1}{k - 1}\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 310;
const ll mod = 1000000007;
const ll inv2 = (mod + 1) / 2;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, m, K, fac[maxn], ifac[maxn];

inline ll C(ll n, ll m) {
	if (n < m || n < 0 || m < 0) {
		return 0;
	} else {
		return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
	}
}

ll f[maxn][maxn];

inline void upd(ll &x, ll y) {
	((x += y) >= mod) && (x -= mod);
}

inline ll calc(ll K) {
	if (!K) {
		return 0;
	}
	mems(f, 0);
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 0; j <= m; ++j) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			for (int k = 2; k <= K && k <= i; ++k) {
				if (k <= j && k > 2) {
					upd(f[i][j], f[i - k][j - k] * C(i - 1, k - 1) % mod * fac[k - 1] % mod * inv2 % mod);
				}
				if (k <= j && k == 2) {
					upd(f[i][j], f[i - k][j - k] * C(i - 1, k - 1) % mod);
				}
				if (k - 1 <= j) {
					upd(f[i][j], f[i - k][j - (k - 1)] * C(i - 1, k - 1) % mod * fac[k] % mod * inv2 % mod);
				}
			}
		}
	}
	return f[n][m];
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &K);
	if (n < m || n < K) {
		puts("0");
		return;
	}
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	}
	ifac[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; ~i; --i) {
		ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	printf("%lld\n", (calc(K) - calc(K - 1) + mod) % mod);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}