Powerful Number 筛

Powerful Number 筛（PN 筛）可以解决一些求积性函数前缀和的问题。要求能构造出一个积性函数 $g$，满足：

• $g$ 容易求前缀和；
• 对于质数 $p$，$f(p) = g(p)$。

称一个数 $x$ 是 Powerful Number（PN）当且仅当 $x$ 的质因数分解中，所有质因数的指数都 $\ge 2$。$1$ 是 PN。

有结论 $\le n$ 的 PN 有 $O(\sqrt{n})$ 个。并且若线性筛出 $\le \sqrt{n}$ 的所有质数，枚举每个质数的指数，就可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间复杂度内搜索出所有 PN。

假设我们已经构造出一个满足条件的 $g$。假设有一个积性函数 $h$，满足 $f = g * h$。那么有 $f(p) = g(1) h(p) + g(p) h(1) = g(p) + h(p)$，又因为 $f(p) = g(p)$，所以 $h(p) = 0$。所以 $h(x)$ 有值当且仅当 $x$ 是 PN。

推一下式子：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{i = 1}^n f(i) & = \sum\limits_{ij \le n} g(i) h(j) \\ & = \sum\limits_{i = 1}^n h(i) \sum\limits_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor} g(j) \end{aligned}$$

因此我们只用枚举所有 $\le n$ 的 PN，然后快速计算 $\sum\limits_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor} g(j)$ 即可。

问题来到如何计算 $h(i)$。因为 $h$ 是积性函数，所以只用考虑如何计算 $h(p^k)$。根据 $f = g * h$ 有：

$$f(p^k) = \sum\limits_{i = 0}^k g(p^i) h(p^{k - i})$$

因此：

$$h(p^k) = f(p^k) - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} g(p^{k - i}) h(p^i)$$

进而可以暴力在 $O(\sqrt{n})$ 的时间复杂度内计算。

若 $g$ 的前缀和能 $O(1)$ 计算，那么 PN 筛的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$。

例题

1. P5325 【模板】Min_25 筛

考虑构造 $g = (id \cdot \varphi)$，那么 $g$ 的前缀和可以使用杜教筛计算（$id^2 = (id \cdot \varphi) * id$）。

时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$，瓶颈在杜教筛。

2. 2023.10.3 NOIP 模拟赛 T2 数论

考虑构造 $g = I * id$。那么 $\sum\limits_{i = 1}^n g(i) = \sum\limits_{i = 1}^n i \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor$。若使用整除分块计算，设 $P$ 为 PN 集合，时间复杂度 $O(\sum\limits_{x \in P} \frac{n}{x}) = O(\sqrt{n} \log n)$。

3. LOJ6053 简单的函数

考虑构造：

$$g(x) = \begin{cases} 3 \varphi(x) & 2 \mid x \\ \varphi(x) & 2 \nmid x \end{cases}$$

那么 $\sum\limits_{i = 1}^n g(i) = \sum\limits_{i = 1}^n \varphi(i) + 2 \sum\limits_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \varphi(2i)$，可以杜教筛解决。