CodeForces 1062F Upgrading Cities

洛谷传送门

CF 传送门

考虑一个子问题：求从某个点 \(u\) 能到达的点数。

如果要精确地计算出来，最优解法只能是 \(O(\frac{n^2}{w})\) 的 bitset。但是我们还没有利用到题目的性质，我们只需要判断一个点是否至多有一个点互不可达。

考虑拓扑排序的过程，队列里面的点两两互不可达。维护一个 \(f_u\) 表示从 \(u\) 能到达的点数。

若某个时刻队列点数 \(\ge 3\)，那么这些点全寄了，不用管（也可以打标记）；

若某个时刻队列点数 \(= 1\)，那么队头的点可以到达剩下的所有点，直接累加。

若某个时刻队列点数 \(= 2\)，设它们为 \(x, y\)。如果 \(y\) 的后继中存在一个点入度为 \(1\)，那么说明它只能由 \(y\) 到达，此时给 \(x\) 打标记。如果不满足这个条件，就直接把剩下的点数累加到 \(f_x\)。

建反图再做一遍。时间复杂度 \(O(n + m)\)。

code

// Problem: F. Upgrading Cities
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 520 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1062/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 300100;

int n, m, f[maxn], ind[maxn];
bool vis[maxn];
vector<int> G[maxn], T[maxn];

void solve() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	while (m--) {
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		G[u].pb(v);
		T[v].pb(u);
	}
	int cnt = 0;
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ind[i] = (int)T[i].size();
		if (!ind[i]) {
			q.push(i);
			++cnt;
		}
	}
	while (q.size()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		if (q.empty()) {
			f[u] += n - cnt;
		} else if ((int)q.size() == 1) {
			bool flag = 1;
			for (int v : G[q.front()]) {
				if (ind[v] == 1) {
					flag = 0;
					break;
				}
			}
			if (flag) {
				f[u] += n - cnt;
			} else {
				vis[u] = 1;
			}
		} else {
			vis[u] = 1;
		}
		for (int v : G[u]) {
			if (!(--ind[v])) {
				q.push(v);
				++cnt;
			}
		}
	}
	cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ind[i] = (int)G[i].size();
		if (!ind[i]) {
			q.push(i);
			++cnt;
		}
	}
	while (q.size()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		if (q.empty()) {
			f[u] += n - cnt;
		} else if ((int)q.size() == 1) {
			bool flag = 1;
			for (int v : T[q.front()]) {
				if (ind[v] == 1) {
					flag = 0;
					break;
				}
			}
			if (flag) {
				f[u] += n - cnt;
			} else {
				vis[u] = 1;
			}
		} else {
			vis[u] = 1;
		}
		for (int v : T[u]) {
			if (!(--ind[v])) {
				q.push(v);
				++cnt;
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans += (!vis[i] && f[i] >= n - 2);
	}
	printf("%d\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}