CodeForces 1864E Guess Game

洛谷传送门

CF 传送门

感觉是很费脑子的题，可能是因为我没有脑子。

因为 \(a, b\) 都没有的位可以通过更高的位往右平移填上，所以下面只考虑 \(a \mid b = 2^k - 1\) 的情况。

考虑 \(a = b\)。例如 \(a = b = (1111)_2\)：

• A 不知道 \(a = b\) 还是 \(a > b\)；
• B 知道了 \(a\) 的最高位是 \(1\)，否则它就知道 \(a < b\)，但是 B 现在也不知道 \(a = b\) 还是 \(a < b\)；
• A 知道了 \(b\) 的最高位和第 \(2\) 高位都是 \(1\)，但是 A 还是不知道 \(a = b\) 还是 \(a > b\)；
• B 知道了 \(a\) 的第 \(2, 3\) 高位都是 \(1\)，但是 B 还是不知道 \(a = b\) 还是 \(a < b\)；
• A 知道了 \(b\) 的第 \(3, 4\) 高位都是 \(1\)，因此 A 知道 \(a = b\)。

因此可以发现，若 \(a = b\)，则需要 \(\operatorname{popcount}(a) + 1\) 轮。

若 \(a \ne b\)，例如 \(a = (111010)_2, b = (111101)_2\)：

• A 不知道 \(a < b\) 还是 \(a > b\)；
• B 知道了 A 的最高位是 \(1\)，但是 B 还是不知道 \(a < b\) 还是 \(a > b\)；
• A 知道了 B 的最高位和第 \(2\) 高位都是 \(1\)，但是 A 还是不知道 \(a < b\) 还是 \(a > b\)；
• B 知道了 A 的第 \(2, 3\) 高位都是 \(1\)，但是 B 还是不知道 \(a < b\) 还是 \(a > b\)；
• A 知道了 B 的第 \(3, 4\) 高位都是 \(1\)，因此 A 知道 \(a < b\)。

因此可以发现，若 \(a < b\)，设 \(a\) 最高是 \(0\) 的位是第 \(i\) 高位，会经过 \(i + [i \bmod 2 = 0]\) 轮；同理，若 \(a > b\)，设 \(b\) 最高是 \(0\) 的位是第 \(i\) 高位，会经过 \(i + [i \bmod 2 = 1]\) 轮。

这样，我们枚举 \(a\)，枚举 \(a, b\) 在二进制下的 \(\text{LCP}\)，就能知道会经过多少轮。

若使用 01Trie 计算 \(b\) 的数量，时空复杂度均为 \(O(n \log V)\)。

code

// Problem: E. Guess Game
// Contest: Codeforces - Harbour.Space Scholarship Contest 2023-2024 (Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1864/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;
const ll mod = 998244353;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, a[maxn], ntot;
int ch[maxn * 32][2], sz[maxn * 32];

inline void insert(ll x) {
	int p = 0;
	for (int i = 30; ~i; --i) {
		int t = (x >> i) & 1;
		if (!ch[p][t]) {
			ch[p][t] = ++ntot;
		}
		p = ch[p][t];
		++sz[p];
	}
}

void solve() {
	for (int i = 0; i <= ntot; ++i) {
		ch[i][0] = ch[i][1] = sz[i] = 0;
	}
	ntot = 0;
	scanf("%lld", &n);
	map<ll, ll> mp;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		insert(a[i]);
		++mp[a[i]];
	}
	ll ans = 0;
	for (auto p : mp) {
		ll k = p.scd;
		ans = (ans + k * k % mod * (__builtin_popcount(p.fst) + 1) % mod) % mod;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int p = 0, cnt = 0;
		for (int d = 30; ~d; --d) {
			int t = (a[i] >> d) & 1;
			cnt += t;
			if (!t) {
				++cnt;
				ans = (ans + sz[ch[p][1]] * ((cnt & 1) ? cnt : cnt + 1) % mod) % mod;
				--cnt;
			} else {
				ans = (ans + sz[ch[p][0]] * ((cnt & 1) ? cnt + 1 : cnt) % mod) % mod;
			}
			p = ch[p][t];
		}
	}
	ll inv = qpow(n * n % mod, mod - 2);
	printf("%lld\n", ans * inv % mod);
}

int main() {
	int T = 1;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}