AtCoder Beginner Contest 275 G Infinite Knapsack

洛谷传送门

AtCoder 传送门

原问题等价于：

给定 \(a_i = \frac{A_i}{C_i}, b_i = \frac{B_i}{C_i}\)，要求 \(\sum\limits_{i = 1}^n x_i = 1\)，\(x_i\) 为非负实数，求 \(\max(\sum\limits_{i = 1}^n a_i x_i, \sum\limits_{i = 1}^n b_i x_i)\) 的最小值。

考虑二分。设当前二分到 \(mid\)，check 等价于：

给定 \(a_i = \frac{A_i}{C_i} - mid, b_i = \frac{B_i}{C_i} - mid\)，要求 \(\sum\limits_{i = 1}^n x_i = 1\)，\(x_i\) 为非负实数，问是否能使 \(\sum\limits_{i = 1}^n a_i x_i \le 0 \land \sum\limits_{i = 1}^n b_i x_i \le 0\)。

考虑若存在 \(i\) 使得 \(a_i \le 0 \land b_i \le 0\)，那么就可行。

否则，我们找到 \(a_i < 0, b_i \ge 0\) 且 \(\frac{b_i}{-a_i}\) 最小的 \(i\)，\(a_j \ge 0, b_j < 0\) 且 \(\frac{a_j}{-b_j}\) 最小的 \(j\)，那么除了 \(i, j\) 以外，它的 \(x\) 值都等于 \(0\)。因为我们肯定想，选了其中一个属性 \(< 0\) 的元素，对另一种元素造成的影响尽量小。

那么现在就是问是否存在一个非负实数 \(x\) 满足：

• \(a_i x + a_j (1 - x) \le 0\)
• \(b_i x + b_j (1 - x) \le 0\)

这个就是一个一元一次不等式，判断下界是否小于等于上界即可。

code

// Problem: G - Infinite Knapsack
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 275
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc275/tasks/abc275_g
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;

int n;
ldb a[maxn], b[maxn], c[maxn], d[maxn];

inline bool check(ldb x) {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		c[i] = a[i] - x;
		d[i] = b[i] - x;
		if (c[i] <= 0 && d[i] <= 0) {
			return 1;
		}
	}
	ldb mn1 = 1e18, mn2 = 1e18;
	int p = -1, q = -1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (c[i] < 0 && -d[i] / c[i] < mn1) {
			mn1 = -d[i] / c[i];
			p = i;
		}
		if (d[i] < 0 && -c[i] / d[i] < mn2) {
			mn2 = -c[i] / d[i];
			q = i;
		}
	}
	if (p == -1 || q == -1) {
		return 0;
	}
	return c[q] / (c[q] - c[p]) <= d[q] / (d[q] - d[p]);
}

void solve() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%Lf%Lf%Lf", &a[i], &b[i], &c[i]);
		a[i] /= c[i];
		b[i] /= c[i];
	}
	ldb l = 0, r = 11;
	while (r - l > 1e-8) {
		ldb mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) {
			r = mid;
		} else {
			l = mid;
		}
	}
	printf("%.10Lf\n", 1 / l);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}