AtCoder Beginner Contest 223 H Xor Query

洛谷传送门

AtCoder 传送门

考虑一个无脑做法：线段树维护区间线性基。时间复杂度是 \(O(m \log n \log^2 V)\)，过于优秀以至于无法接受。

事实上我们并不需要维护区间线性基，因为不带修。考虑“可持久化线性基”，开 \(n\) 个线性基，第 \(i\) 个维护前缀 \([1, i]\) 的数。并且插入线性基时优先选择出现位置靠后的数，这样使得查询时左端点的限制更容易被满足。查询的时候，直接查第 \(r\) 个线性基能不能凑出 \(x\) 并且不使用出现位置 \(< l\) 的数。

但是这样空间复杂度是 \(O(n \log V)\) 的，不够优秀。考虑我们其实可以离线，按右端点从小到大插入并且回答询问，就不用开 \(n\) 个线性基了，空间复杂度降为 \(O(n + \log V)\)，时间复杂度是 \(O((n + m) \log V)\)。

code

// Problem: H - Xor Query
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 223
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc223/tasks/abc223_h
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 400100;

ll n, m, a[maxn], p[66], d[65], b[maxn];

struct node {
	ll p, x, id;
	node(ll a = 0, ll b = 0, ll c = 0) : p(a), x(b), id(c) {}
};

vector<node> vc[maxn];

inline void insert(ll x, ll t) {
	for (int i = 59; ~i; --i) {
		if (x & (1LL << i)) {
			if (!p[i]) {
				p[i] = x;
				d[i] = t;
				break;
			}
			if (d[i] < t) {
				swap(x, p[i]);
				swap(t, d[i]);
			}
			x ^= p[i];
		}
	}
}

inline bool check(ll x, ll t) {
	for (int i = 59; ~i; --i) {
		if (x & (1LL << i)) {
			if (!p[i] || d[i] < t) {
				return 0;
			}
			x ^= p[i];
		}
	}
	return 1;
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		ll l, r, x;
		scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &x);
		vc[r].pb(l, x, i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		insert(a[i], i);
		for (node u : vc[i]) {
			b[u.id] = check(u.x, u.p);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		puts(b[i] ? "Yes" : "No");
	}
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}