AtCoder Regular Contest 146 C Even XOR

洛谷传送门

AtCoder 传送门

好可爱的题啊。

没什么性质，考虑直接递推。

\(f_i\) 表示大小为 \(i\) 的合法集合。

添加元素，不能使任何一个大小为奇数的子集异或和为 \(0\)。

那么：

\[f_i = \frac{f_{i-1} (2^n - 2^{i-2})}{i} \]

除 \(i\) 是因为集合是无序的。

注意到 \(n+1\) 之后 \(f_i\) 恒为 \(0\)，所以时间复杂度 \(O(n)\)。

code

// Problem: C - Even XOR
// Contest: AtCoder - AtCoder Regular Contest 146
// URL: https://atcoder.jp/contests/arc146/tasks/arc146_c
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;
const ll mod = 998244353;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	if (p < 0) {
		return 0;
	}
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, f[maxn];

void solve() {
	scanf("%lld", &n);
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
		f[i] = f[i - 1] * (qpow(2, n) - qpow(2, i - 2) + mod) % mod * qpow(i, mod - 2) % mod;
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n + 1; ++i) {
		ans = (ans + f[i]) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}