多项式
1. 多项式乘法（卷积）
简单来说，选取 \(\omega_n^k\) 代入，DFT 转化成点值表达式后相乘后再 IDFT。
把 FFT 的 \(\omega_n^k\) 换成 \(g^{\left\lfloor\frac{mod-1}{n}\right\rfloor}\)，其中 \(g\) 为 \(mod\) 的原根。
模板
P1919 【模板】A*B Problem 升级版（FFT 快速傅里叶变换）：注意处理进位。
P4245 【模板】任意模数多项式乘法：可以考虑使用三模数 NTT，用 CRT 合并。
循环移位或子串匹配问题
[ABC291G] OR Sum：按位计算每个循环移位的贡献，翻转 \(B\)，做异或卷积即可。异或卷积可以拆成两个加法卷积。
[ABC196F] Substring 2：同样是快速计算每个位置开始匹配的最大匹配位数，翻转 \(T\) 后做加法异或卷积。
CF993E Nikita and Order Statistics：翻转序列后转化为循环移位问题，注意 NTT 会爆模数，使用 FFT。
P4173 残缺的字符串：对于这种一般性的字符集为全部小写字母的子串匹配问题，考虑构造多项式 \(\sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{j=0}^m (s_i - t_j)^2 s_i t_j\)，如果字符为通配符那么值为 \(0\)，否则为它是第几个小写字母。拆式子后做三遍加法卷积即可。
CF528D Fuzzy Search：字符集小，枚举每个字符，设什么 \(f(c)_i\) 为原串第 \(i\) 个字符能不能匹配到 \(c\)，01 加法卷积即可。
CF1334G Substring Search：转化成 \(\sum (s_i - t_j)^2 \times (s_i - p_{t_j})^2\) 即可。
[ABC307Ex] Marquee：可以转化成 P4173 残缺的字符串即带通配符的字符串匹配问题，具体见 我写的题解。
推式子
P3338 [ZJOI2014]力：第一部分设 \(a_i = q_i, b_i = \frac{1}{i^2}\)，求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^i a_j \times b_{i-j}\) 即可，第二部分翻转数组后再做一次。
P5488 差分与前缀和：推出 \(j \to i\) 的贡献系数后加法卷积，具体见 我写的题解。
P5641 【CSGRound2】开拓者的卓识：和上一题差不多，考虑 \(j \to 1\) 和 \(j \to i\) 的方案数，那么 \(s_i = \sum\limits_{j=1}^i \binom{j+k-2}{k-1} \times \binom{i-j+k-1}{k-1} \times a_j\)，直接加法卷积即可。
[ARC124F] Chance Meeting：考虑减小规模，只计算在 \((n, i)\) 相遇方案数，然后容斥计算方案数，发现转移式是加法卷积形式。具体见 我写的题解。
[ABC267Ex] Odd Sum：不能直接暴力跑背包，发现值域很小，对值域从小到大做背包，还需要加上上界优化。具体见 我写的题解。
[ARC153E] Deque Minimization：经过一坨转化后转化为 \(k\) 阶前缀和，具体见 我写的题解。
P5395 第二类斯特林数·行：根据斯特林数通项公式 \({n \brace m} = \sum\limits_{i = 0}^m \frac{(-1)^{m - i} i^n}{i! (m - i)!}\) 计算即可。
P4091 [HEOI2016/TJOI2016] 求和：根据斯特林通项公式拆式子，化成加法卷积形式即可。
P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和：利用二项式反演将点值转化为类似系数的东西，卷积优化。具体见 我写的题解。
[AGC047C] Product Modulo：利用原根化乘为加，转化为 \(\sum\limits_{i + j = k} A_i A_j\) 形式，FFT 优化即可。
倍增
P5408 第一类斯特林数·行：运用 \(\prod\limits_{i = 0}^{n - 1} (x + i) = \sum\limits_{i = 0}^n \begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix} x^i\) 计算，考虑倍增，假设计算了 \(x^{\overline n}\)，可以推得 \(x^{\overline{2n}} = x^{\overline n} (x + n)^{\overline n}\)。可推得 \((x + n)^{\overline n}\) 是一遍差卷积。
CF960G Bandit Blues：利用组合意义简化求和式，转化为求第一类斯特林数。具体见 我写的题解。
上述二者综合
P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物：设差为 \(k\)，则 \(ans = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i + k)^2 = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 + y_i^2 + k^2 + 2 x_i k - 2 y_i k - 2 x_i y_i\)，发现循环移位只会对 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i\) 造成影响，先提前计算它的最大值，再枚举 \(k\) 计算最大值即可。
2. 多项式快速幂
指数很小的时候直接对点值求 \(k\) 次方即可，也可以倍增。如果是倍增，注意清空数组。
固定选的物品个数的背包
CF1096G Lucky Tickets：构造多项式之后快速幂即可。
CF286E Ladies' Shop：感觉略有难度。一个 \(T\) 能成为答案当且仅当 \(\forall x \in T\)，\(x\) 在 \(S\) 中不能分解成两个及以上数的和，根据题目要求可以将规模减小到两个数，如果这些数能凑出 \(\le m\) 且 \(\notin S\) 的数就无解。构造多项式求平方即可。
其他
P3321 [SDOI2015]序列统计：利用原根化乘为加，求 \(n\) 次幂即可。具体见 我写的题解。
[ARC139E] Wazir：转换后变成对于 \(b_i = a_i - a_{i + 1} = \pm 1\) 计数，当 \(m \le 10^5\) 时构造多项式 \(f(x) = (x + x^{-1})^n \pmod{x^m - 1}\) 求它的常数项，可以直接多项式快速幂。具体见 我写的题解。
[ABC309Ex] Simple Path Counting Problem：把 dp 状态对称一份后做多项式快速幂，就可以保证边界的 dp 值等于 \(0\)。具体见 我写的题解。
P5219 无聊的水题 I：根据树的度数限制转化为对度数序列计数，容斥一下转化为最大度数 \(\le m\) 计数，使用多项式快速幂。
[ABC303Ex] Constrained Tree Degree：和上一题类似。
3. 分治 NTT
当需要做在线卷积时，就需要分治 NTT。分治 NTT 的核心思想是，计算出 \(f_{l \sim mid}\)，卷上 \(g_{0 \sim r - l}\) 转移至 \(f_{mid + 1 \sim r}\)。
模板
应用
[ABC213H] Stroll：直接分治 NTT 即可，具体见 我写的题解。
[ABC247Ex] Rearranging Problem：写出 \(O(n^2)\) dp 转移式，转化成 \(n\) 个一次多项式相乘，分治优化。具体见 我写的题解。
[ABC281Ex] Alchemy：一种很神奇的分治 NTT。具体见 我写的题解。
CF1257G Divisor Set：答案为本质不同的大小为 \(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 的子集个数。考虑写成若干个多项式乘起来，最后取 \(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 次项。容易分治 NTT 优化。
P5644 [PKUWC2018] 猎人杀：可转化为 0/1 背包，转化为求若干个多项式乘积，分治 NTT 优化即可。具体见 我写的题解。
P4841 [集训队作业2013] 城市规划：根据容斥写出递推公式，发现是半在线卷积形式，然后分治 FFT 即可。
