AtCoder Regular Contest 134 E Modulo Nim

洛谷传送门

AtCoder 传送门

It's all MAGIC

这种题目一般先考虑局面要满足什么条件能必胜，然后根据这个性质来计数。

如果把黑板上的数写成一个集合 \(S\)，那么：

• \(\varnothing\) 为必胜态，\(\{1\}, \{2\}\) 显然为必败态，打表发现其他单元素集合都为必胜态；
• 如果 \(\exists x \in S, x \bmod 2 = 1\)，\(S\) 为必胜态，因为可以选择模 \(2\) 使 \(S\) 变为 \(\{1\}\)；
• 如果 \(\forall x \in S, 2 \mid x\)，且 \(\exists x \in S, x \bmod 4 = 2\)，\(S\) 为必胜态，因为可以选择模 \(4\) 使 \(S\) 变为 \(\{2\}\)；
• 如果 \(\forall x \in S, 4 \mid x\)，考虑选择模 \(3\)：
  • 如果 \(S\) 变为 \(\{1\}\) 或 \(\{2\}\)，那么 \(S\) 为必胜态。
  • 否则 \(S\) 在模 \(12\) 意义下为 \(\{4, 8\}\)，打表发现 \(\{4, 8\}\) 为必败态。如果 \(S\) 不为 \(\{4, 8\}\)，考虑选择模 \(12\)，那么 \(S\) 为必胜态。

以上我们讨论了 \(\exists x \in S, 12 \nmid x\) 的情况。还剩下 \(\forall x \in S, 12 \mid x\) 的情况。这时候我们发现讨论起来有些复杂了。

接下来就是这题真正 MAGIC 的地方了！发现 \(a_i \le 200\)，意味着若 \(\forall x \in S, 12 \mid x\)，那么 \(|S| \le \left\lfloor\frac{200}{12}\right\rfloor = 16\)。考虑暴力状压，暴力转移，这样能求出每一个 \(S\) 是必胜态还是必败态。这部分时间复杂度 \(O(2^{16} \times 200 \times 16)\)，可以接受。

接下来就是计数了。

• 对于 \(\exists x \in S, 12 \nmid x\) 的情况，只有 \(\{1\}, \{2\}, \{4, 8\}\) 为必败态。容斥，总方案数减去必败态方案数即可。
• 对于 \(\forall x \in S, 12 \mid x\) 的情况，也是暴力状压，枚举每位填什么数。

总时间复杂度 \(O(2^{16} \times 200 \times 16)\)。

code

// Problem: E - Modulo Nim
// Contest: AtCoder - AtCoder Regular Contest 134
// URL: https://atcoder.jp/contests/arc134/tasks/arc134_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 6000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 210;
const int maxm = (1 << 16) + 50;
const ll mod = 998244353;

ll n, a[maxn], f[maxn][maxm], g[maxm];

ll dfs(int S) {
	if (!S) {
		return 1;
	}
	if (g[S] != -1) {
		return g[S];
	}
	int mx = 0;
	for (int i = 0; i < 16; ++i) {
		if (S & (1 << i)) {
			mx = max(mx, 12 * (i + 1));
		}
	}
	for (int x = 1; x <= mx; ++x) {
		set<int> st;
		for (int i = 0; i < 16; ++i) {
			if ((S & (1 << i)) && (12 * (i + 1)) % x) {
				st.insert((12 * (i + 1)) % x);
			}
		}
		if ((int)st.size() == 1 && *st.begin() <= 2) {
			return g[S] = 1;
		} else if ((int)st.size() == 2 && *st.begin() == 4 && *(--st.end()) == 8) {
			return g[S] = 1;
		}
		int T = 0;
		bool flag = 1;
		for (int t : st) {
			if (t % 12) {
				flag = 0;
				break;
			}
			T |= (1 << (t / 12 - 1));
		}
		if (flag && !dfs(T)) {
			return g[S] = 1;
		}
	}
	return g[S] = 0;
}

void solve() {
	mems(g, -1);
	scanf("%lld", &n);
	ll all = 1, mul = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		all = all * a[i] % mod;
		mul = mul * (a[i] / 12) % mod;
	}
	ll ans = (all - mul + mod) % mod;
	// {1}
	ans = (ans + mod - 1) % mod;
	// {2}
	bool flag = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (a[i] < 2) {
			flag = 0;
			break;
		}
	}
	if (flag) {
		ans = (ans + mod - 1) % mod;
	}
	// {4, 8}
	bool all8 = 1;
	flag = 1;
	ll pw = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (a[i] < 4) {
			flag = 0;
			break;
		} else if (a[i] < 8) {
			all8 = 0;
		} else {
			pw = pw * 2 % mod;
		}
	}
	if (flag) {
		ans = (ans + mod - (pw - all8 - 1)) % mod;
	}
	if (*min_element(a + 1, a + n + 1) < 12) {
		printf("%lld\n", ans);
		return;
	}
	// multiples of 12
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int S = 0; S < (1 << 16); ++S) {
			if (!f[i - 1][S]) {
				continue;
			}
			for (int x = 0; 12 * (x + 1) <= a[i]; ++x) {
				int T = (S | (1 << x));
				f[i][T] = (f[i][T] + f[i - 1][S]) % mod;
			}
		}
	}
	for (int S = 0; S < (1 << 16); ++S) {
		if (dfs(S)) {
			ans = (ans + f[n][S]) % mod;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}