Codeforces Round 864 (Div. 2)

评价：A~E 感觉出的挺一般，特别是 D 怎么放这种暴力题，场上我还没调出来，F 没看。但是 Orz rui_er。

A

在一个点周围放障碍即可。

B

求出最少需要的操作次数 $p$，若 $p > k$ 就无解，否则若 $n$ 为偶数只能任选一个格子翻偶数次，即有解当且仅当 $2 \mid (k - p)$；若 $n$ 为奇数可以一直翻中间格子，恒有解。

C

问 $(1,1)$，此时得到了 $\max(x,y)=p$，再问 $(p,p)$，此时可以得到 $\min(x,y)=q$，则答案为 $(p,q)$ 或 $(q,p)$。问 $(p,q)$，若返回值非 $0$ 那么答案就是 $(q,p)$，否则是 $(p,q)$。

注意一开始的 $p > \min(n,m)$ 时要特判，此时已经确定横纵坐标之一了，再问一次 $(1,p)$（或 $(p,1)$）就可以得出答案。

D

暴力 set 维护每个点的重儿子，$2$ 操作只会进行 $O(1)$ 次修改。

E

考虑将每个 $a_i$ 一直 $x \gets \varphi(x)$ 得到的所有数从小到大写成一个序列，则问题可以被简化成：

给定 $n$ 个长度不超过 $\log V$ 的序列，有两种操作：

1. 删除 $[l,r]$ 序列的末尾元素（如果序列只有一个元素就不删）
2. 查询 $[l,r]$ 序列的 $\operatorname{LCP}$

考虑所有序列总长为 $O(n \log V)$，删除操作时暴力枚举 $l$ 到 $r$ 即可，使用并查集维护每个元素下一个非 $1$ 元素的位置。

考虑从末尾删元素只会对 $\operatorname{LCP}$ 在长度方面有影响，所以可以认为是静态查询。

既然是静态，那么对于每个位置预处理出最大的 $nxt_{k,i}$ 表示 $[i,nxt_{k,i}]$ 在第 $k$ 位相等。询问直接枚举 $\operatorname{LCP}$，最大的满足 $\forall p \in [1,k],nxt_{p,l} \ge r$ 且 $\forall i \in [l,r], k \le len_i$ 的 $k$ 就是 $\operatorname{LCP}$。

实现时需要一个线段树维护序列长度的区间 $\min$ 和区间和。时间复杂度 $O(n (\log n + \log V) + m \log n \log V)$。

F

考虑建出 $\min$ 重构树和 $\max$ 重构树，满足 $\min$ 重构树上 $\operatorname{LCA}(u,v)$ 是 $u,v$ 在原树路径上点权最小值，$\max$ 上是最大值。

令 $A$ 为满足第一个条件的点对数量，$B$ 为满足第二个条件的点对数量，$C$ 为两个条件都满足的点对数量，则 $ans = A + B - 2C$。

$A,B$ 就是每个点祖先数量和，$C$ 就是满足 $\min$ 树上 $u$ 为 $v$ 祖先，$\max$ 树上 $v$ 为 $u$ 祖先的 $(u,v)$，树状数组 dfs 序即可。

考虑加点，以该点为端点的向上路径满足第二个条件，只需要让它不满足第一个条件，容斥减去即可。

时间复杂度 $O(n \log n)$。