网络流之广义切糕模型

问题

有 $n$ 个整数变量 $x_i$。$x_i$ 可以取 $[1,m]$，取 $j$ 需要 $a_{i,j}$ 的代价。有若干个约束，形如 $x_{u_i} \le x_{v_i} + w_i$。给变量赋值，最小化总代价。

建模

考虑求最小割。对每个整数变量拆 $m+1$ 个点 $p_{i,1},p_{i,2},\dots,p_{i,m+1}$，连 $n$ 条链 $S \to p_{i,1} \to p_{i,2} \to \cdots \to p_{i,m} \to p_{i,m+1} \to T$，其中 $S \to p_{i,1}$ 和 $p_{i,m+1} \to T$ 的容量为 $\infty$（表示不能割这条边），$p_{i,j} \to p_{i,j+1}$ 的容量为 $a_{i,j}$。然后 $p_{v_i,j+w_i} \to p_{u_i,j}$，容量为 $\infty$，表示强制让 $S$ 和 $p_{v_i,j+w_i}$ 与 $p_{u_i,j}$ 和 $T$ 的连通关系不同。如果选了不合法的方案，那么 $S \to T$ 还能经过这条边，就不是最小割了。

例题

1. 洛谷 P3227 [HNOI2013]切糕

由于对称性，只需考虑 $f(x,y) - f(x',y') \le D$。按照上面的方法建图即可。

2. P6054 [RC-02] 开门大吉

设第 $i$ 位选手选第 $j$ 套题的期望奖励为 $g_{i,j}$，则 $g_{i,j} = \sum\limits_{k=1}^p c_k \times \prod\limits_{l=1}^k f_{i,j,l}$。

但是这题的约束是 $x_{u_i} \ge x_{v_i} + w_i$ 了，怎么办呢？

仍然采用类似的思想建图，连 $n$ 条链，对于每个约束，每个点向他能选的最近点连 $\infty$ 边，即 $p_{v_i,j} \to p_{u_i,j+w_i}$。注意若这样连则 $j + w_i > m$ 的点没有限制，于是对于这些点还需连 $p_{v_i,j} \to p_{u_i,m+1}$，表示它们不能被选。