AtCoder Regular Contest 098 F Donation

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非常妙的 Kruskal 重构树。

倒序考虑，相当于每次经过一个点必须至少有 $\max(0, a_u - b_u)$ 元，然后获得 $b_u$ 元，并且之后经过这个点都不会再获得钱。令 $c_i = \max(0, a_u - b_u)$，考虑枚举终点 $u$，并且按 $c$ 从小到大走，这样我们得到了一个 $O(n^2)$ 的做法。

考虑建出 Kruskal 重构树，边 $(u,v)$ 权为 $\max(c_u, c_v)$。那么每次从叶结点开始跳祖先，由于点权随着深度递减而递增，所以到达一个祖先 $w$，最优方案一定是把 $w$ 子树内所有结点走完再往上走。设 $g_u = \sum\limits_{v \in subtree(u)} b_v$，一开始有 $x$ 元，则 $w$ 跳到 $fa_w$ 需要满足 $g_w + x \ge c_{fa_w}$。那么每个终点 $u$ 的最小钱数 $x$ 就是所有祖先的 $c_{fa_w} - g_w$ 的最大值，dfs 求解即可。最终答案还要加上 $\sum b_u$。

时间复杂度 $O(m \log m)$。

code

/*
 
p_b_p_b txdy
AThousandSuns txdy
Wu_Ren txdy
Appleblue17 txdy
 
*/
 
#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))
 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;
 
const int maxn = 1000100;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
 
ll n, m, a[maxn], b[maxn], c[maxn], ans = inf;
int fa[maxn], ntot, head[maxn], len;
 
struct E {
	ll u, v, d;
} G[maxn];
 
bool cmp(E a, E b) {
	return a.d < b.d;
}
 
struct edge {
	int to, next;
} edges[maxn];
 
void add_edge(int u, int v) {
	edges[++len].to = v;
	edges[len].next = head[u];
	head[u] = len;
}
 
int find(int x) {
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
 
void dfs(int u) {
	if (u <= n) {
		return;
	}
	for (int i = head[u]; i; i = edges[i].next) {
		int v = edges[i].to;
		dfs(v);
		b[u] += b[v];
	}
}
 
void dfs2(int u, ll val) {
	if (u <= n) {
		ans = min(ans, max(c[u], val));
		return;
	}
	for (int i = head[u]; i; i = edges[i].next) {
		int v = edges[i].to;
		dfs2(v, max(val, c[u] - b[v]));
	}
}
 
void solve() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	ntot = n;
	ll s = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
		c[i] = max(0LL, a[i] - b[i]);
		s += b[i];
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%lld%lld", &G[i].u, &G[i].v);
		G[i].d = max(c[G[i].u], c[G[i].v]);
	}
	sort(G + 1, G + m + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= n * 2; ++i) {
		fa[i] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		int x = find(G[i].u), y = find(G[i].v);
		if (x != y) {
			int z = ++ntot;
			fa[x] = fa[y] = z;
			add_edge(z, x);
			add_edge(z, y);
			c[z] = G[i].d;
		}
	}
	dfs(ntot);
	dfs2(ntot, 0);
	printf("%lld\n", ans + s);
}
 
int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}