AtCoder Beginner Contest 242 F Black and White Rooks

洛谷传送门

AtCoder 传送门

不错的组合计数题。

因为黑车和白车不能在同一行或者同一列，所以可以考虑枚举黑车有 \(i\) 行 \(k\) 列的位置放，白车有 \(j\) 行 \(l\) 列的位置放。如果设 \(f_{i,j,k}\) 为 \(i\) 行 \(j\) 列的棋盘，需要放 \(k\) 个车，且 每一行每一列都必须放车的方案数 ，答案即为：

\[\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-i} \sum\limits_{k=1}^m \sum\limits_{l=1}^{m-k} \dbinom{n}{i} \dbinom{n-i}{j} \dbinom{m}{k} \dbinom{m-k}{l} f_{i,k,B} f_{j,l,W} \]

考虑如何求 \(f_{i,j,k}\)。考虑容斥，枚举 至少 \(x\) 行 \(y\) 列没有车，其他的行和列不管。那么：

\[f_{i,j,k} = \sum\limits_{x=0}^i \sum\limits_{y=0}^j \dbinom{i}{x} \dbinom{j}{y} \dbinom{(i-x) \times (j-y)}{k} \]

于是这题就做完了。总时间复杂度 \(O(n^2m^2)\)。