摩尔投票法学习笔记

摩尔投票法

绝对众数 ：数列内出现次数超过数列长度一半的数。

摩尔投票法是一个求绝对众数的利器。

例题

1. 洛谷 P2397 yyy loves Maths VI (mode)

摩尔投票法板子题。

假设现在有一个小房子，有一个新的数 \(x\) 需要进来。

• 如果房子是空的，那么 \(x\) 就直接进去；
• 如果房子内的数和 \(x\) 相等，那么 \(x\) 也进去；
• 否则把房子内的其中一个数带出房子。

其实本质是将众数与其他数配对，然后抵消掉。因为众数出现次数大于一半，所以最后留在房子里的数一定是众数。

2. P3765 总统选举

用线段树维护区间内出现次数超过一半的数 \(num\) 以及它的出现次数与其他数的出现次数之和的差 \(cnt\)。

显然可以合并。合并时分类讨论两个儿子的 \(num\) 是否相等：

• 若相等，则当前结点的 \(num\) 就是儿子的 \(num\)，\(cnt\) 就等于两个儿子的 \(cnt\) 的和；
• 若不相等，则当前结点的 \(num\) 是 \(cnt\) 更大的儿子的 \(num\)，\(cnt\) 为两个儿子的 \(cnt\) 之差的绝对值。

然而此题还要讨论众数出现次数不超过区间长度一半的情况。若不考虑空间，可以对每一个数开一个动态开点线段树记录它在哪些位置出现过。这样查找一个数的出现次数只用询问区间和。然而这样做的空间复杂度是 \(O(n \log \sum k_i)\)，无法承受。因此只能开 \(n\) 棵平衡树，每次 \(\mathrm{insert}\) 或 \(\mathrm{erase}\) 相应的位置，然后查询出现次数就找到对应的平衡树，\(r\) 的 \(\mathrm{rank}\) 与 \(l - 1\) 的 \(\mathrm{rank}\) 相减即可。

3. P8496 [NOI2022] 众数

每个数列开一棵动态开点线段树，按前一题的方法 \(\mathrm{merge}\)。插入、删除就用链表维护，注意存每个链表的头元素和尾元素。查询时将对应数列的 \(\mathrm{root}\) \(\mathrm{merge}\) 一下即可。对于操作 \(4\)，合并一下两个链表和两棵线段树即可。