Codeforces Round #812 (Div. 2)

被交互提薄纱

A

显然答案就是经过最边缘的四个点组成的矩形的周长。

B

显然 \(f(a)_{\min} = \max\limits_{i=1}^n a_i\)。考虑达到这个下界的时候，数组的最小值一定在两端点，删去这个最小值，剩下的数组的最小值仍然一定在两端点。直接模拟就行。

C

每次找到最小的且 \(\ge n - 1\) 的完全平方数，记为 \(sq\)，填上所有 \(i \in [sq - n + 1,n - 1]\) 的数，然后再递归。可以证明这种构造方法是正确的，并且原问题一定有解。

D

赛时一直在想六个人分一组，然后就寄了……

四个人分一组，考虑如何通过 一次询问 排除两个人。根据锦标赛的性质，四个人分一组，每组内第一个和第二个人一定有一个人胜局数量是 \(0\)，第三个和第四个人一定有一个人是 \(0\)，且若有出现次数 \(> 1\) 的数则 一定是 \(0\) 。记组内的四个人分别为 \(b_1,b_2,b_3,b_4\)，且每个人胜局数量的数组为 \(a\)，那么我们每次询问 \(b_1\) 和 \(b_3\)：

• 若 \(b_1 > b_3\)，可以发现 \(a_{b_2}\) 一定是 \(0\)，此时可以排除掉 \(b_2,b_3\)。
• 若 \(b_1 = b_3\)，那么 \(b_1 = b_3 = 0\)，此时可以排除掉 \(b_1,b_3\)。
• 若 \(b_1 < b_3\)，可以发现 \(a_{b_4}\) 一定是 \(0\)，此时可以排除掉 \(b_1,b_4\)。

这样就以总询问次数为 \(2^{n-1}\) 的方法解决了这道题，爆踩标算。

E

显然最终目标是让 \(a_{1,1}\) 尽量小，在 \(a_{1,1}\) 尽量小的前提下，贪心地使 \(a_{1,2}\) 尽量小，以此类推。

题中的操作不会改变对角线上的数，于是只用考虑非对角线上的数。

对于 \(i,j\ (i < j)\)，可以发现能使 \(a_{i,j}\) 与 \(a_{j,i}\) 交换的 \(k\) 只有 \(k=i\) 或 \(k=j\)。考虑用 扩展域并查集 维护每个 \(k\) 是否执行操作，\(i\) 为不执行，\(i+n\) 为执行。那么每次枚举 \(i,j\)：

• 若 \(a_{i,j} < a_{j,i}\)，则最理想的情况就是 \(a_{i,j}\) 与 \(a_{j,i}\) 不交换或交换两次，即并查集中 \(i+n\) 和 \(j\) 当前不在同一连通块内 。如果是这样，则不交换，然后合并 \(i,j\) 且合并 \(i+n,j+n\)；否则说明要使前面的字典序达到最小就必须交换 \(a_{i,j}\) 和 \(a_{j,i}\)，此时就交换。
• 若 \(a_{i,j} > a_{j,i}\)，则最理想的状况就是 \(a_{i,j}\) 与 \(a_{j,i}\) 交换一次，即并查集中 \(i\) 和 \(j\) 当前不在同一连通块内。如果是这样，则交换，然后合并 \(i,j+n\) 且合并 \(i+n,j\)。

枚举完就达到了使 \(a\) 字典序最小的目标。